Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26245 / 24963
↖ ↑ ↗
← S 68.151121°
E108.336182°		 ← 454.65 m → S 68.151121°
E108.347168°		 →
↑
454.57 m
↓
↑
454.57 m
↓
S 68.155209°
E108.336182°		 ← 454.56 m →
206 650 m²		 S 68.155209°
E108.347168°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26245 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24963 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.800949096679688 y=0.761825561523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.800949096679688 × 215)
    floor (0.800949096679688 × 32768)
    floor (26245.5)     		tx = 26245
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761825561523438 × 215)
    floor (0.761825561523438 × 32768)
    floor (24963.5)     		ty = 24963
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26245 / 24963 ti = "15/26245/24963"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26245/24963.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26245 ÷ 215
    26245 ÷ 32768     		x = 0.800933837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24963 ÷ 215
    24963 ÷ 32768     		y = 0.761810302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.800933837890625 × 2 - 1) × π
    0.60186767578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.89082307
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761810302734375 × 2 - 1) × π
    -0.52362060546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.64500264736185
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.89082307} λ = 1.89082307}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64500264736185))-π/2
    2×atan(0.193012051820343)-π/2
    2×0.19066743880276-π/2
    0.38133487760552-1.57079632675     		φ = -1.18946145
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.89082307} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.336182°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18946145 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.151121°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26245 KachelY 24963 1.89082307 -1.18946145 108.336182 -68.151121
    Oben rechts KachelX + 1 26246 KachelY 24963 1.89101482 -1.18946145 108.347168 -68.151121
    Unten links KachelX 26245 KachelY + 1 24964 1.89082307 -1.18953280 108.336182 -68.155209
    Unten rechts KachelX + 1 26246 KachelY + 1 24964 1.89101482 -1.18953280 108.347168 -68.155209
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18946145--1.18953280) × R
    7.13500000000256e-05 × 6371000     		dl = 454.570850000163m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18946145--1.18953280) × R
    7.13500000000256e-05 × 6371000     		dr = 454.570850000163m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.89082307-1.89101482) × cos(-1.18946145) × R
    0.000191750000000157 × 0.372159791446287 × 6371000     		do = 454.645008502971m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.89082307-1.89101482) × cos(-1.18953280) × R
    0.000191750000000157 × 0.372093565664068 × 6371000     		du = 454.56410448805m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18946145)-sin(-1.18953280))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.372159791446287-0.372093565664068)×R²
    abs(1.89101482-1.89082307)×6.62257822193757e-05×R²
    0.000191750000000157×6.62257822193757e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.62257822193757e-05×40589641000000     		ar = 206649.979747341m²