Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 2624 / 4160
↖ ↑ ↗
← N 65.946472°
W122.343750°		 ← 995.86 m → N 65.946472°
W122.321777°		 →
↑
995.98 m
↓
↑
995.98 m
↓
N 65.937515°
W122.343750°		 ← 996.20 m →
992 025 m²		 N 65.937515°
W122.321777°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2624 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4160 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.160186767578125 y=0.253936767578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.160186767578125 × 214)
    floor (0.160186767578125 × 16384)
    floor (2624.5)     		tx = 2624
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.253936767578125 × 214)
    floor (0.253936767578125 × 16384)
    floor (4160.5)     		ty = 4160
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2624 / 4160 ti = "14/2624/4160"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2624/4160.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2624 ÷ 214
    2624 ÷ 16384     		x = 0.16015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4160 ÷ 214
    4160 ÷ 16384     		y = 0.25390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.16015625 × 2 - 1) × π
    -0.6796875 × 3.1415926535     		Λ = -2.13530126
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25390625 × 2 - 1) × π
    0.4921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.54625263414453
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.13530126} λ = -2.13530126}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.54625263414453))-π/2
    2×atan(4.69384761981689)-π/2
    2×1.36088969467217-π/2
    2.72177938934434-1.57079632675     		φ = 1.15098306
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.13530126} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.343750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.15098306 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.946472°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2624 KachelY 4160 -2.13530126 1.15098306 -122.343750 65.946472
    Oben rechts KachelX + 1 2625 KachelY 4160 -2.13491776 1.15098306 -122.321777 65.946472
    Unten links KachelX 2624 KachelY + 1 4161 -2.13530126 1.15082673 -122.343750 65.937515
    Unten rechts KachelX + 1 2625 KachelY + 1 4161 -2.13491776 1.15082673 -122.321777 65.937515
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.15098306-1.15082673) × R
    0.000156330000000038 × 6371000     		dl = 995.978430000241m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.15098306-1.15082673) × R
    0.000156330000000038 × 6371000     		dr = 995.978430000241m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.13530126--2.13491776) × cos(1.15098306) × R
    0.00038349999999987 × 0.407589941927033 × 6371000     		do = 995.855741926232m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.13530126--2.13491776) × cos(1.15082673) × R
    0.00038349999999987 × 0.407732692040787 × 6371000     		du = 996.204520210038m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.15098306)-sin(1.15082673))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407589941927033-0.407732692040787)×R²
    abs(-2.13491776--2.13530126)×0.000142750113753476×R²
    0.00038349999999987×0.000142750113753476×6371000²
    0.00038349999999987×0.000142750113753476×40589641000000     		ar = 992024.528193756m²