Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26230 / 24432
↖ ↑ ↗
← S 65.874725°
E108.171386°		 ← 499.32 m → S 65.874725°
E108.182373°		 →
↑
499.30 m
↓
↑
499.30 m
↓
S 65.879215°
E108.171386°		 ← 499.24 m →
249 288 m²		 S 65.879215°
E108.182373°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26230 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24432 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.800491333007812 y=0.745620727539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.800491333007812 × 215)
    floor (0.800491333007812 × 32768)
    floor (26230.5)     		tx = 26230
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745620727539062 × 215)
    floor (0.745620727539062 × 32768)
    floor (24432.5)     		ty = 24432
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26230 / 24432 ti = "15/26230/24432"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26230/24432.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26230 ÷ 215
    26230 ÷ 32768     		x = 0.80047607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24432 ÷ 215
    24432 ÷ 32768     		y = 0.74560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80047607421875 × 2 - 1) × π
    0.6009521484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.88794685
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74560546875 × 2 - 1) × π
    -0.4912109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.54318467256885
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.88794685} λ = 1.88794685}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54318467256885))-π/2
    2×atan(0.213699453802344)-π/2
    2×0.210532743729745-π/2
    0.42106548745949-1.57079632675     		φ = -1.14973084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.88794685} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.171386°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14973084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.874725°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26230 KachelY 24432 1.88794685 -1.14973084 108.171386 -65.874725
    Oben rechts KachelX + 1 26231 KachelY 24432 1.88813860 -1.14973084 108.182373 -65.874725
    Unten links KachelX 26230 KachelY + 1 24433 1.88794685 -1.14980921 108.171386 -65.879215
    Unten rechts KachelX + 1 26231 KachelY + 1 24433 1.88813860 -1.14980921 108.182373 -65.879215
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14973084--1.14980921) × R
    7.83699999999943e-05 × 6371000     		dl = 499.295269999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14973084--1.14980921) × R
    7.83699999999943e-05 × 6371000     		dr = 499.295269999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.88794685-1.88813860) × cos(-1.14973084) × R
    0.000191749999999935 × 0.408733105626485 × 6371000     		do = 499.324404607541m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.88794685-1.88813860) × cos(-1.14980921) × R
    0.000191749999999935 × 0.408661579680623 × 6371000     		du = 499.237025704683m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14973084)-sin(-1.14980921))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408733105626485-0.408661579680623)×R²
    abs(1.88813860-1.88794685)×7.15259458616835e-05×R²
    0.000191749999999935×7.15259458616835e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.15259458616835e-05×40589641000000     		ar = 249288.499606832m²