Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26226 / 24368
↖ ↑ ↗
← S 65.585720°
E108.127441°		 ← 504.94 m → S 65.585720°
E108.138428°		 →
↑
504.90 m
↓
↑
504.90 m
↓
S 65.590261°
E108.127441°		 ← 504.85 m →
254 924 m²		 S 65.590261°
E108.138428°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26226 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24368 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.800369262695312 y=0.743667602539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.800369262695312 × 215)
    floor (0.800369262695312 × 32768)
    floor (26226.5)     		tx = 26226
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743667602539062 × 215)
    floor (0.743667602539062 × 32768)
    floor (24368.5)     		ty = 24368
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26226 / 24368 ti = "15/26226/24368"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26226/24368.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26226 ÷ 215
    26226 ÷ 32768     		x = 0.80035400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24368 ÷ 215
    24368 ÷ 32768     		y = 0.74365234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.80035400390625 × 2 - 1) × π
    0.6007080078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.88717986
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74365234375 × 2 - 1) × π
    -0.4873046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.53091282626611
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.88717986} λ = 1.88717986}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53091282626611))-π/2
    2×atan(0.216338098058253)-π/2
    2×0.213054785057659-π/2
    0.426109570115318-1.57079632675     		φ = -1.14468676
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.88717986} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.127441°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14468676 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.585720°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26226 KachelY 24368 1.88717986 -1.14468676 108.127441 -65.585720
    Oben rechts KachelX + 1 26227 KachelY 24368 1.88737161 -1.14468676 108.138428 -65.585720
    Unten links KachelX 26226 KachelY + 1 24369 1.88717986 -1.14476601 108.127441 -65.590261
    Unten rechts KachelX + 1 26227 KachelY + 1 24369 1.88737161 -1.14476601 108.138428 -65.590261
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14468676--1.14476601) × R
    7.92499999999752e-05 × 6371000     		dl = 504.901749999842m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14468676--1.14476601) × R
    7.92499999999752e-05 × 6371000     		dr = 504.901749999842m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.88717986-1.88737161) × cos(-1.14468676) × R
    0.000191749999999935 × 0.413331386050995 × 6371000     		do = 504.941844456627m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.88717986-1.88737161) × cos(-1.14476601) × R
    0.000191749999999935 × 0.413259221234616 × 6371000     		du = 504.85368508447m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14468676)-sin(-1.14476601))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.413331386050995-0.413259221234616)×R²
    abs(1.88737161-1.88717986)×7.21648163785615e-05×R²
    0.000191749999999935×7.21648163785615e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.21648163785615e-05×40589641000000     		ar = 254923.76513721m²