Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26225 / 24367
↖ ↑ ↗
← S 65.581178°
E108.116455°		 ← 505 m → S 65.581178°
E108.127441°		 →
↑
505.03 m
↓
↑
505.03 m
↓
S 65.585720°
E108.116455°		 ← 504.92 m →
255 019 m²		 S 65.585720°
E108.127441°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26225 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24367 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.800338745117188 y=0.743637084960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.800338745117188 × 215)
    floor (0.800338745117188 × 32768)
    floor (26225.5)     		tx = 26225
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743637084960938 × 215)
    floor (0.743637084960938 × 32768)
    floor (24367.5)     		ty = 24367
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26225 / 24367 ti = "15/26225/24367"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26225/24367.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26225 ÷ 215
    26225 ÷ 32768     		x = 0.800323486328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24367 ÷ 215
    24367 ÷ 32768     		y = 0.743621826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.800323486328125 × 2 - 1) × π
    0.60064697265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.88698812
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743621826171875 × 2 - 1) × π
    -0.48724365234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.53072107866763
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.88698812} λ = 1.88698812}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53072107866763))-π/2
    2×atan(0.216379584346337)-π/2
    2×0.213094416167961-π/2
    0.426188832335922-1.57079632675     		φ = -1.14460749
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.88698812} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.116455°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14460749 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.581178°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26225 KachelY 24367 1.88698812 -1.14460749 108.116455 -65.581178
    Oben rechts KachelX + 1 26226 KachelY 24367 1.88717986 -1.14460749 108.127441 -65.581178
    Unten links KachelX 26225 KachelY + 1 24368 1.88698812 -1.14468676 108.116455 -65.585720
    Unten rechts KachelX + 1 26226 KachelY + 1 24368 1.88717986 -1.14468676 108.127441 -65.585720
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14460749--1.14468676) × R
    7.92699999998536e-05 × 6371000     		dl = 505.029169999067m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14460749--1.14468676) × R
    7.92699999998536e-05 × 6371000     		dr = 505.029169999067m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.88698812-1.88717986) × cos(-1.14460749) × R
    0.000191739999999996 × 0.413403566482378 × 6371000     		do = 505.003684963626m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.88698812-1.88717986) × cos(-1.14468676) × R
    0.000191739999999996 × 0.413331386050995 × 6371000     		du = 504.915511114182m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14460749)-sin(-1.14468676))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.413403566482378-0.413331386050995)×R²
    abs(1.88717986-1.88698812)×7.21804313830177e-05×R²
    0.000191739999999996×7.21804313830177e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.21804313830177e-05×40589641000000     		ar = 255019.326813806m²