Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26223 / 24399
↖ ↑ ↗
← S 65.726110°
E108.094482°		 ← 502.21 m → S 65.726110°
E108.105469°		 →
↑
502.16 m
↓
↑
502.16 m
↓
S 65.730626°
E108.094482°		 ← 502.13 m →
252 171 m²		 S 65.730626°
E108.105469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26223 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24399 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.800277709960938 y=0.744613647460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.800277709960938 × 215)
    floor (0.800277709960938 × 32768)
    floor (26223.5)     		tx = 26223
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744613647460938 × 215)
    floor (0.744613647460938 × 32768)
    floor (24399.5)     		ty = 24399
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26223 / 24399 ti = "15/26223/24399"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26223/24399.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26223 ÷ 215
    26223 ÷ 32768     		x = 0.800262451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24399 ÷ 215
    24399 ÷ 32768     		y = 0.744598388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.800262451171875 × 2 - 1) × π
    0.60052490234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.88660462
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744598388671875 × 2 - 1) × π
    -0.48919677734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.536857001819
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.88660462} λ = 1.88660462}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.536857001819))-π/2
    2×atan(0.215055960824186)-π/2
    2×0.211829647731147-π/2
    0.423659295462294-1.57079632675     		φ = -1.14713703
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.88660462} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 108.094482°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14713703 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.726110°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26223 KachelY 24399 1.88660462 -1.14713703 108.094482 -65.726110
    Oben rechts KachelX + 1 26224 KachelY 24399 1.88679637 -1.14713703 108.105469 -65.726110
    Unten links KachelX 26223 KachelY + 1 24400 1.88660462 -1.14721585 108.094482 -65.730626
    Unten rechts KachelX + 1 26224 KachelY + 1 24400 1.88679637 -1.14721585 108.105469 -65.730626
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14713703--1.14721585) × R
    7.8820000000146e-05 × 6371000     		dl = 502.16222000093m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14713703--1.14721585) × R
    7.8820000000146e-05 × 6371000     		dr = 502.16222000093m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.88660462-1.88679637) × cos(-1.14713703) × R
    0.000191749999999935 × 0.411098978989926 × 6371000     		do = 502.214648368849m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.88660462-1.88679637) × cos(-1.14721585) × R
    0.000191749999999935 × 0.411027126132944 × 6371000     		du = 502.126870098535m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14713703)-sin(-1.14721585))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.411098978989926-0.411027126132944)×R²
    abs(1.88679637-1.88660462)×7.18528569820798e-05×R²
    0.000191749999999935×7.18528569820798e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.18528569820798e-05×40589641000000     		ar = 252171.183407022m²