Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26214 / 24370
↖ ↑ ↗
← S 65.594800°
E107.995605°		 ← 504.77 m → S 65.594800°
E108.006592°		 →
↑
504.71 m
↓
↑
504.71 m
↓
S 65.599339°
E107.995605°		 ← 504.68 m →
254 738 m²		 S 65.599339°
E108.006592°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26214 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24370 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.800003051757812 y=0.743728637695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.800003051757812 × 215)
    floor (0.800003051757812 × 32768)
    floor (26214.5)     		tx = 26214
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743728637695312 × 215)
    floor (0.743728637695312 × 32768)
    floor (24370.5)     		ty = 24370
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26214 / 24370 ti = "15/26214/24370"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26214/24370.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26214 ÷ 215
    26214 ÷ 32768     		x = 0.79998779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24370 ÷ 215
    24370 ÷ 32768     		y = 0.74371337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.79998779296875 × 2 - 1) × π
    0.5999755859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.88487889
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74371337890625 × 2 - 1) × π
    -0.4874267578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.53129632146307
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.88487889} λ = 1.88487889}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53129632146307))-π/2
    2×atan(0.216255149342962)-π/2
    2×0.212975543593255-π/2
    0.425951087186511-1.57079632675     		φ = -1.14484524
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.88487889} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 107.995605°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14484524 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.594800°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26214 KachelY 24370 1.88487889 -1.14484524 107.995605 -65.594800
    Oben rechts KachelX + 1 26215 KachelY 24370 1.88507064 -1.14484524 108.006592 -65.594800
    Unten links KachelX 26214 KachelY + 1 24371 1.88487889 -1.14492446 107.995605 -65.599339
    Unten rechts KachelX + 1 26215 KachelY + 1 24371 1.88507064 -1.14492446 108.006592 -65.599339
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14484524--1.14492446) × R
    7.92199999999355e-05 × 6371000     		dl = 504.710619999589m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14484524--1.14492446) × R
    7.92199999999355e-05 × 6371000     		dr = 504.710619999589m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.88487889-1.88507064) × cos(-1.14484524) × R
    0.000191749999999935 × 0.413187072035661 × 6371000     		do = 504.76554479117m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.88487889-1.88507064) × cos(-1.14492446) × R
    0.000191749999999935 × 0.413114929349757 × 6371000     		du = 504.677412454469m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14484524)-sin(-1.14492446))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.413187072035661-0.413114929349757)×R²
    abs(1.88507064-1.88487889)×7.21426859039975e-05×R²
    0.000191749999999935×7.21426859039975e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.21426859039975e-05×40589641000000     		ar = 254738.290536048m²