Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26210 / 24366
↖ ↑ ↗
← S 65.576637°
E107.951660°		 ← 505.12 m → S 65.576637°
E107.962646°		 →
↑
505.03 m
↓
↑
505.03 m
↓
S 65.581178°
E107.951660°		 ← 505.03 m →
255 077 m²		 S 65.581178°
E107.962646°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24366 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.799880981445312 y=0.743606567382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.799880981445312 × 215)
    floor (0.799880981445312 × 32768)
    floor (26210.5)     		tx = 26210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743606567382812 × 215)
    floor (0.743606567382812 × 32768)
    floor (24366.5)     		ty = 24366
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26210 / 24366 ti = "15/26210/24366"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26210/24366.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26210 ÷ 215
    26210 ÷ 32768     		x = 0.79986572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24366 ÷ 215
    24366 ÷ 32768     		y = 0.74359130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.79986572265625 × 2 - 1) × π
    0.5997314453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.88411190
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74359130859375 × 2 - 1) × π
    -0.4871826171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.53052933106915
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.88411190} λ = 1.88411190}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53052933106915))-π/2
    2×atan(0.216421078590079)-π/2
    2×0.213134054198276-π/2
    0.426268108396552-1.57079632675     		φ = -1.14452822
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.88411190} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 107.951660°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14452822 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.576637°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26210 KachelY 24366 1.88411190 -1.14452822 107.951660 -65.576637
    Oben rechts KachelX + 1 26211 KachelY 24366 1.88430365 -1.14452822 107.962646 -65.576637
    Unten links KachelX 26210 KachelY + 1 24367 1.88411190 -1.14460749 107.951660 -65.581178
    Unten rechts KachelX + 1 26211 KachelY + 1 24367 1.88430365 -1.14460749 107.962646 -65.581178
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14452822--1.14460749) × R
    7.92700000000757e-05 × 6371000     		dl = 505.029170000482m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14452822--1.14460749) × R
    7.92700000000757e-05 × 6371000     		dr = 505.029170000482m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.88411190-1.88430365) × cos(-1.14452822) × R
    0.000191750000000157 × 0.413475744316044 × 6371000     		do = 505.118198179857m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.88411190-1.88430365) × cos(-1.14460749) × R
    0.000191750000000157 × 0.413403566482378 × 6371000     		du = 505.030022905271m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14452822)-sin(-1.14460749))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.413475744316044-0.413403566482378)×R²
    abs(1.88430365-1.88411190)×7.21778336656431e-05×R²
    0.000191750000000157×7.21778336656431e-05×6371000²
    0.000191750000000157×7.21778336656431e-05×40589641000000     		ar = 255077.158970168m²