Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 2621 / 1691
↖ ↑ ↗
← N 80.550126°
W122.409668°		 ← 401.14 m → N 80.550126°
W122.387695°		 →
↑
401.18 m
↓
↑
401.18 m
↓
N 80.546518°
W122.409668°		 ← 401.29 m →
160 960 m²		 N 80.546518°
W122.387695°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2621 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1691 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.160003662109375 y=0.103240966796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.160003662109375 × 214)
    floor (0.160003662109375 × 16384)
    floor (2621.5)     		tx = 2621
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103240966796875 × 214)
    floor (0.103240966796875 × 16384)
    floor (1691.5)     		ty = 1691
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2621 / 1691 ti = "14/2621/1691"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2621/1691.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2621 ÷ 214
    2621 ÷ 16384     		x = 0.15997314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1691 ÷ 214
    1691 ÷ 16384     		y = 0.10321044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.15997314453125 × 2 - 1) × π
    -0.6800537109375 × 3.1415926535     		Λ = -2.13645174
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10321044921875 × 2 - 1) × π
    0.7935791015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.49310227543988
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.13645174} λ = -2.13645174}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49310227543988))-π/2
    2×atan(12.0987516207332)-π/2
    2×1.48833061970431-π/2
    2.97666123940861-1.57079632675     		φ = 1.40586491
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.13645174} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.409668°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40586491 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.550126°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2621 KachelY 1691 -2.13645174 1.40586491 -122.409668 80.550126
    Oben rechts KachelX + 1 2622 KachelY 1691 -2.13606825 1.40586491 -122.387695 80.550126
    Unten links KachelX 2621 KachelY + 1 1692 -2.13645174 1.40580194 -122.409668 80.546518
    Unten rechts KachelX + 1 2622 KachelY + 1 1692 -2.13606825 1.40580194 -122.387695 80.546518
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40586491-1.40580194) × R
    6.29700000001066e-05 × 6371000     		dl = 401.181870000679m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40586491-1.40580194) × R
    6.29700000001066e-05 × 6371000     		dr = 401.181870000679m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.13645174--2.13606825) × cos(1.40586491) × R
    0.000383489999999931 × 0.164184678871858 × 6371000     		do = 401.138435711052m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.13645174--2.13606825) × cos(1.40580194) × R
    0.000383489999999931 × 0.164246794019347 × 6371000     		du = 401.29019635808m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40586491)-sin(1.40580194))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164184678871858-0.164246794019347)×R²
    abs(-2.13606825--2.13645174)×6.21151474888559e-05×R²
    0.000383489999999931×6.21151474888559e-05×6371000²
    0.000383489999999931×6.21151474888559e-05×40589641000000     		ar = 160959.909631444m²