Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26203 / 24435
↖ ↑ ↗
← S 65.888193°
E107.874756°		 ← 499.06 m → S 65.888193°
E107.885742°		 →
↑
498.98 m
↓
↑
498.98 m
↓
S 65.892680°
E107.874756°		 ← 498.97 m →
248 999 m²		 S 65.892680°
E107.885742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26203 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24435 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.799667358398438 y=0.745712280273438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.799667358398438 × 215)
    floor (0.799667358398438 × 32768)
    floor (26203.5)     		tx = 26203
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745712280273438 × 215)
    floor (0.745712280273438 × 32768)
    floor (24435.5)     		ty = 24435
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26203 / 24435 ti = "15/26203/24435"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26203/24435.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26203 ÷ 215
    26203 ÷ 32768     		x = 0.799652099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24435 ÷ 215
    24435 ÷ 32768     		y = 0.745697021484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.799652099609375 × 2 - 1) × π
    0.59930419921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.88276967
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745697021484375 × 2 - 1) × π
    -0.49139404296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.54375991536429
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.88276967} λ = 1.88276967}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54375991536429))-π/2
    2×atan(0.213576560081407)-π/2
    2×0.21041521419758-π/2
    0.42083042839516-1.57079632675     		φ = -1.14996590
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.88276967} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 107.874756°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14996590 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.888193°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26203 KachelY 24435 1.88276967 -1.14996590 107.874756 -65.888193
    Oben rechts KachelX + 1 26204 KachelY 24435 1.88296142 -1.14996590 107.885742 -65.888193
    Unten links KachelX 26203 KachelY + 1 24436 1.88276967 -1.15004422 107.874756 -65.892680
    Unten rechts KachelX + 1 26204 KachelY + 1 24436 1.88296142 -1.15004422 107.885742 -65.892680
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14996590--1.15004422) × R
    7.83200000000761e-05 × 6371000     		dl = 498.976720000485m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14996590--1.15004422) × R
    7.83200000000761e-05 × 6371000     		dr = 498.976720000485m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.88276967-1.88296142) × cos(-1.14996590) × R
    0.000191749999999935 × 0.408518565897018 × 6371000     		do = 499.062314453339m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.88276967-1.88296142) × cos(-1.15004422) × R
    0.000191749999999935 × 0.408447078063352 × 6371000     		du = 498.974982109836m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14996590)-sin(-1.15004422))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408518565897018-0.408447078063352)×R²
    abs(1.88296142-1.88276967)×7.14878336653402e-05×R²
    0.000191749999999935×7.14878336653402e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.14878336653402e-05×40589641000000     		ar = 248998.688466237m²