Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26200 / 24364
↖ ↑ ↗
← S 65.567549°
E107.841797°		 ← 505.27 m → S 65.567549°
E107.852783°		 →
↑
505.28 m
↓
↑
505.28 m
↓
S 65.572094°
E107.841797°		 ← 505.18 m →
255 282 m²		 S 65.572094°
E107.852783°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26200 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24364 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.799575805664062 y=0.743545532226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.799575805664062 × 215)
    floor (0.799575805664062 × 32768)
    floor (26200.5)     		tx = 26200
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743545532226562 × 215)
    floor (0.743545532226562 × 32768)
    floor (24364.5)     		ty = 24364
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26200 / 24364 ti = "15/26200/24364"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26200/24364.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26200 ÷ 215
    26200 ÷ 32768     		x = 0.799560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24364 ÷ 215
    24364 ÷ 32768     		y = 0.7435302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.799560546875 × 2 - 1) × π
    0.59912109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.88219443
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7435302734375 × 2 - 1) × π
    -0.487060546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.53014583587219
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.88219443} λ = 1.88219443}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53014583587219))-π/2
    2×atan(0.216504090950643)-π/2
    2×0.213213351022781-π/2
    0.426426702045561-1.57079632675     		φ = -1.14436962
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.88219443} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 107.841797°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14436962 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.567549°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26200 KachelY 24364 1.88219443 -1.14436962 107.841797 -65.567549
    Oben rechts KachelX + 1 26201 KachelY 24364 1.88238617 -1.14436962 107.852783 -65.567549
    Unten links KachelX 26200 KachelY + 1 24365 1.88219443 -1.14444893 107.841797 -65.572094
    Unten rechts KachelX + 1 26201 KachelY + 1 24365 1.88238617 -1.14444893 107.852783 -65.572094
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14436962--1.14444893) × R
    7.93100000000546e-05 × 6371000     		dl = 505.284010000348m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14436962--1.14444893) × R
    7.93100000000546e-05 × 6371000     		dr = 505.284010000348m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.88219443-1.88238617) × cos(-1.14436962) × R
    0.000191739999999996 × 0.413620146815381 × 6371000     		do = 505.268254200868m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.88219443-1.88238617) × cos(-1.14444893) × R
    0.000191739999999996 × 0.413547937761185 × 6371000     		du = 505.180045386495m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14436962)-sin(-1.14444893))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.413620146815381-0.413547937761185)×R²
    abs(1.88238617-1.88219443)×7.22090541963039e-05×R²
    0.000191739999999996×7.22090541963039e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.22090541963039e-05×40589641000000     		ar = 255281.684490271m²