Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2620 / 612
↖ ↑ ↗
← N 77.389504°
E 50.273437°		 ← 2 133.66 m → N 77.389504°
E 50.361328°		 →
↑
2 135.24 m
↓
↑
2 135.24 m
↓
N 77.370301°
E 50.273437°		 ← 2 136.85 m →
4 559 286 m²		 N 77.370301°
E 50.361328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2620 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 612 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6397705078125 y=0.1495361328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6397705078125 × 212)
    floor (0.6397705078125 × 4096)
    floor (2620.5)     		tx = 2620
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1495361328125 × 212)
    floor (0.1495361328125 × 4096)
    floor (612.5)     		ty = 612
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2620 / 612 ti = "12/2620/612"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2620/612.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2620 ÷ 212
    2620 ÷ 4096     		x = 0.6396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 612 ÷ 212
    612 ÷ 4096     		y = 0.1494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6396484375 × 2 - 1) × π
    0.279296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.87743701
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1494140625 × 2 - 1) × π
    0.701171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.20279641134082
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87743701} λ = 0.87743701}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20279641134082))-π/2
    2×atan(9.0502864698762)-π/2
    2×1.46074898908034-π/2
    2.92149797816067-1.57079632675     		φ = 1.35070165
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87743701} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.273437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35070165 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.389504°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2620 KachelY 612 0.87743701 1.35070165 50.273437 77.389504
    Oben rechts KachelX + 1 2621 KachelY 612 0.87897099 1.35070165 50.361328 77.389504
    Unten links KachelX 2620 KachelY + 1 613 0.87743701 1.35036650 50.273437 77.370301
    Unten rechts KachelX + 1 2621 KachelY + 1 613 0.87897099 1.35036650 50.361328 77.370301
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35070165-1.35036650) × R
    0.000335149999999951 × 6371000     		dl = 2135.24064999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35070165-1.35036650) × R
    0.000335149999999951 × 6371000     		dr = 2135.24064999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87743701-0.87897099) × cos(1.35070165) × R
    0.00153398000000005 × 0.21832201694531 × 6371000     		do = 2133.65814172511m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87743701-0.87897099) × cos(1.35036650) × R
    0.00153398000000005 × 0.218649069781668 × 6371000     		du = 2136.85442470579m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35070165)-sin(1.35036650))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21832201694531-0.218649069781668)×R²
    abs(0.87897099-0.87743701)×0.000327052836358643×R²
    0.00153398000000005×0.000327052836358643×6371000²
    0.00153398000000005×0.000327052836358643×40589641000000     		ar = 4559286.05676465m²