Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2619 / 660
↖ ↑ ↗
← N 76.434604°
E 50.185547°		 ← 2 292.30 m → N 76.434604°
E 50.273437°		 →
↑
2 294.07 m
↓
↑
2 294.07 m
↓
N 76.413973°
E 50.185547°		 ← 2 295.72 m →
5 262 627 m²		 N 76.413973°
E 50.273437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2619 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 660 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6395263671875 y=0.1612548828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6395263671875 × 212)
    floor (0.6395263671875 × 4096)
    floor (2619.5)     		tx = 2619
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1612548828125 × 212)
    floor (0.1612548828125 × 4096)
    floor (660.5)     		ty = 660
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2619 / 660 ti = "12/2619/660"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2619/660.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2619 ÷ 212
    2619 ÷ 4096     		x = 0.639404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 660 ÷ 212
    660 ÷ 4096     		y = 0.1611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.639404296875 × 2 - 1) × π
    0.27880859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.87590303
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1611328125 × 2 - 1) × π
    0.677734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.12916533352441
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87590303} λ = 0.87590303}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12916533352441))-π/2
    2×atan(8.40784613458549)-π/2
    2×1.45241591088479-π/2
    2.90483182176958-1.57079632675     		φ = 1.33403550
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87590303} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 50.185547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33403550 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.434604°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2619 KachelY 660 0.87590303 1.33403550 50.185547 76.434604
    Oben rechts KachelX + 1 2620 KachelY 660 0.87743701 1.33403550 50.273437 76.434604
    Unten links KachelX 2619 KachelY + 1 661 0.87590303 1.33367542 50.185547 76.413973
    Unten rechts KachelX + 1 2620 KachelY + 1 661 0.87743701 1.33367542 50.273437 76.413973
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33403550-1.33367542) × R
    0.000360079999999874 × 6371000     		dl = 2294.0696799992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33403550-1.33367542) × R
    0.000360079999999874 × 6371000     		dr = 2294.0696799992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87590303-0.87743701) × cos(1.33403550) × R
    0.00153397999999993 × 0.23455505297213 × 6371000     		do = 2292.30338496772m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87590303-0.87743701) × cos(1.33367542) × R
    0.00153397999999993 × 0.234905072548453 × 6371000     		du = 2295.72412158986m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33403550)-sin(1.33367542))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.23455505297213-0.234905072548453)×R²
    abs(0.87743701-0.87590303)×0.00035001957632283×R²
    0.00153397999999993×0.00035001957632283×6371000²
    0.00153397999999993×0.00035001957632283×40589641000000     		ar = 5262627.45375485m²