Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26188 / 13132
↖ ↑ ↗
← N 33.614619°
E107.709961°		 ← 1 017.30 m → N 33.614619°
E107.720947°		 →
↑
1 017.38 m
↓
↑
1 017.38 m
↓
N 33.605470°
E107.709961°		 ← 1 017.41 m →
1 035 044 m²		 N 33.605470°
E107.720947°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26188 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13132 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.799209594726562 y=0.400772094726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.799209594726562 × 215)
    floor (0.799209594726562 × 32768)
    floor (26188.5)     		tx = 26188
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.400772094726562 × 215)
    floor (0.400772094726562 × 32768)
    floor (13132.5)     		ty = 13132
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26188 / 13132 ti = "15/26188/13132"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26188/13132.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26188 ÷ 215
    26188 ÷ 32768     		x = 0.7991943359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13132 ÷ 215
    13132 ÷ 32768     		y = 0.4007568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7991943359375 × 2 - 1) × π
    0.598388671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.87989346
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4007568359375 × 2 - 1) × π
    0.198486328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.62356319025769
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.87989346} λ = 1.87989346}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.62356319025769))-π/2
    2×atan(1.86556357094054)-π/2
    2×1.07874105511784-π/2
    2.15748211023568-1.57079632675     		φ = 0.58668578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.87989346} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 107.709961°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.58668578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 33.614619°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26188 KachelY 13132 1.87989346 0.58668578 107.709961 33.614619
    Oben rechts KachelX + 1 26189 KachelY 13132 1.88008520 0.58668578 107.720947 33.614619
    Unten links KachelX 26188 KachelY + 1 13133 1.87989346 0.58652609 107.709961 33.605470
    Unten rechts KachelX + 1 26189 KachelY + 1 13133 1.88008520 0.58652609 107.720947 33.605470
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.58668578-0.58652609) × R
    0.000159690000000046 × 6371000     		dl = 1017.38499000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.58668578-0.58652609) × R
    0.000159690000000046 × 6371000     		dr = 1017.38499000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.87989346-1.88008520) × cos(0.58668578) × R
    0.000191739999999996 × 0.832780015009381 × 6371000     		do = 1017.30369653627m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.87989346-1.88008520) × cos(0.58652609) × R
    0.000191739999999996 × 0.832868409421781 × 6371000     		du = 1017.41167698833m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.58668578)-sin(0.58652609))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.832780015009381-0.832868409421781)×R²
    abs(1.88008520-1.87989346)×8.83944124001612e-05×R²
    0.000191739999999996×8.83944124001612e-05×6371000²
    0.000191739999999996×8.83944124001612e-05×40589641000000     		ar = 1035044.44217258m²