Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26183 / 24408
↖ ↑ ↗
← S 65.766727°
E107.655029°		 ← 501.43 m → S 65.766727°
E107.666016°		 →
↑
501.40 m
↓
↑
501.40 m
↓
S 65.771236°
E107.655029°		 ← 501.34 m →
251 391 m²		 S 65.771236°
E107.666016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26183 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24408 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.799057006835938 y=0.744888305664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.799057006835938 × 215)
    floor (0.799057006835938 × 32768)
    floor (26183.5)     		tx = 26183
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744888305664062 × 215)
    floor (0.744888305664062 × 32768)
    floor (24408.5)     		ty = 24408
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26183 / 24408 ti = "15/26183/24408"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26183/24408.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26183 ÷ 215
    26183 ÷ 32768     		x = 0.799041748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24408 ÷ 215
    24408 ÷ 32768     		y = 0.744873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.799041748046875 × 2 - 1) × π
    0.59808349609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.87893472
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744873046875 × 2 - 1) × π
    -0.48974609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.53858273020532
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.87893472} λ = 1.87893472}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53858273020532))-π/2
    2×atan(0.214685152697026)-π/2
    2×0.211475204044156-π/2
    0.422950408088311-1.57079632675     		φ = -1.14784592
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.87893472} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 107.655029°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14784592 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.766727°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26183 KachelY 24408 1.87893472 -1.14784592 107.655029 -65.766727
    Oben rechts KachelX + 1 26184 KachelY 24408 1.87912647 -1.14784592 107.666016 -65.766727
    Unten links KachelX 26183 KachelY + 1 24409 1.87893472 -1.14792462 107.655029 -65.771236
    Unten rechts KachelX + 1 26184 KachelY + 1 24409 1.87912647 -1.14792462 107.666016 -65.771236
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14784592--1.14792462) × R
    7.86999999999871e-05 × 6371000     		dl = 501.397699999918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14784592--1.14792462) × R
    7.86999999999871e-05 × 6371000     		dr = 501.397699999918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.87893472-1.87912647) × cos(-1.14784592) × R
    0.000191750000000157 × 0.410452658209189 × 6371000     		do = 501.425077535591m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.87893472-1.87912647) × cos(-1.14792462) × R
    0.000191750000000157 × 0.410380891831942 × 6371000     		du = 501.337404912316m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14784592)-sin(-1.14792462))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.410452658209189-0.410380891831942)×R²
    abs(1.87912647-1.87893472)×7.1766377246929e-05×R²
    0.000191750000000157×7.1766377246929e-05×6371000²
    0.000191750000000157×7.1766377246929e-05×40589641000000     		ar = 251391.401302668m²