Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2616 / 653
↖ ↑ ↗
← N 76.578159°
E 49.921875°		 ← 2 268.49 m → N 76.578159°
E 50.009766°		 →
↑
2 270.18 m
↓
↑
2 270.18 m
↓
N 76.557743°
E 49.921875°		 ← 2 271.88 m →
5 153 729 m²		 N 76.557743°
E 50.009766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2616 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 653 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6387939453125 y=0.1595458984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6387939453125 × 212)
    floor (0.6387939453125 × 4096)
    floor (2616.5)     		tx = 2616
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1595458984375 × 212)
    floor (0.1595458984375 × 4096)
    floor (653.5)     		ty = 653
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2616 / 653 ti = "12/2616/653"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2616/653.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2616 ÷ 212
    2616 ÷ 4096     		x = 0.638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 653 ÷ 212
    653 ÷ 4096     		y = 0.159423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638671875 × 2 - 1) × π
    0.27734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.87130109
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.159423828125 × 2 - 1) × π
    0.68115234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.13990319903931
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87130109} λ = 0.87130109}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13990319903931))-π/2
    2×atan(8.49861491497868)-π/2
    2×1.45366867017784-π/2
    2.90733734035567-1.57079632675     		φ = 1.33654101
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87130109} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.921875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33654101 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.578159°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2616 KachelY 653 0.87130109 1.33654101 49.921875 76.578159
    Oben rechts KachelX + 1 2617 KachelY 653 0.87283507 1.33654101 50.009766 76.578159
    Unten links KachelX 2616 KachelY + 1 654 0.87130109 1.33618468 49.921875 76.557743
    Unten rechts KachelX + 1 2617 KachelY + 1 654 0.87283507 1.33618468 50.009766 76.557743
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33654101-1.33618468) × R
    0.000356330000000016 × 6371000     		dl = 2270.1784300001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33654101-1.33618468) × R
    0.000356330000000016 × 6371000     		dr = 2270.1784300001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87130109-0.87283507) × cos(1.33654101) × R
    0.00153398000000005 × 0.232118705920746 × 6371000     		do = 2268.49299793049m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87130109-0.87283507) × cos(1.33618468) × R
    0.00153398000000005 × 0.232465288901964 × 6371000     		du = 2271.88014875478m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33654101)-sin(1.33618468))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.232118705920746-0.232465288901964)×R²
    abs(0.87283507-0.87130109)×0.000346582981217397×R²
    0.00153398000000005×0.000346582981217397×6371000²
    0.00153398000000005×0.000346582981217397×40589641000000     		ar = 5153728.64540641m²