Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26155 / 24523
↖ ↑ ↗
← S 66.280118°
E107.347412°		 ← 491.42 m → S 66.280118°
E107.358398°		 →
↑
491.40 m
↓
↑
491.40 m
↓
S 66.284537°
E107.347412°		 ← 491.34 m →
241 462 m²		 S 66.284537°
E107.358398°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26155 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24523 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.798202514648438 y=0.748397827148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.798202514648438 × 215)
    floor (0.798202514648438 × 32768)
    floor (26155.5)     		tx = 26155
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748397827148438 × 215)
    floor (0.748397827148438 × 32768)
    floor (24523.5)     		ty = 24523
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26155 / 24523 ti = "15/26155/24523"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26155/24523.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26155 ÷ 215
    26155 ÷ 32768     		x = 0.798187255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24523 ÷ 215
    24523 ÷ 32768     		y = 0.748382568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.798187255859375 × 2 - 1) × π
    0.59637451171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.87356578
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748382568359375 × 2 - 1) × π
    -0.49676513671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.56063370403055
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.87356578} λ = 1.87356578}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56063370403055))-π/2
    2×atan(0.210002949309876)-π/2
    2×0.206995018957036-π/2
    0.413990037914072-1.57079632675     		φ = -1.15680629
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.87356578} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 107.347412°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15680629 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.280118°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26155 KachelY 24523 1.87356578 -1.15680629 107.347412 -66.280118
    Oben rechts KachelX + 1 26156 KachelY 24523 1.87375753 -1.15680629 107.358398 -66.280118
    Unten links KachelX 26155 KachelY + 1 24524 1.87356578 -1.15688342 107.347412 -66.284537
    Unten rechts KachelX + 1 26156 KachelY + 1 24524 1.87375753 -1.15688342 107.358398 -66.284537
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15680629--1.15688342) × R
    7.71299999999808e-05 × 6371000     		dl = 491.395229999878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15680629--1.15688342) × R
    7.71299999999808e-05 × 6371000     		dr = 491.395229999878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.87356578-1.87375753) × cos(-1.15680629) × R
    0.000191749999999935 × 0.402265491098638 × 6371000     		do = 491.423312846455m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.87356578-1.87375753) × cos(-1.15688342) × R
    0.000191749999999935 × 0.40219487560849 × 6371000     		du = 491.337046192033m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15680629)-sin(-1.15688342))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.402265491098638-0.40219487560849)×R²
    abs(1.87375753-1.87356578)×7.06154901477518e-05×R²
    0.000191749999999935×7.06154901477518e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.06154901477518e-05×40589641000000     		ar = 241461.876451787m²