Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26155 / 24479
↖ ↑ ↗
← S 66.084911°
E107.347412°		 ← 495.23 m → S 66.084911°
E107.358398°		 →
↑
495.22 m
↓
↑
495.22 m
↓
S 66.089364°
E107.347412°		 ← 495.14 m →
245 226 m²		 S 66.089364°
E107.358398°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26155 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24479 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.798202514648438 y=0.747055053710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.798202514648438 × 215)
    floor (0.798202514648438 × 32768)
    floor (26155.5)     		tx = 26155
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747055053710938 × 215)
    floor (0.747055053710938 × 32768)
    floor (24479.5)     		ty = 24479
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26155 / 24479 ti = "15/26155/24479"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26155/24479.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26155 ÷ 215
    26155 ÷ 32768     		x = 0.798187255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24479 ÷ 215
    24479 ÷ 32768     		y = 0.747039794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.798187255859375 × 2 - 1) × π
    0.59637451171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.87356578
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747039794921875 × 2 - 1) × π
    -0.49407958984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.55219680969742
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.87356578} λ = 1.87356578}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55219680969742))-π/2
    2×atan(0.211782217196235)-π/2
    2×0.208698522010978-π/2
    0.417397044021956-1.57079632675     		φ = -1.15339928
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.87356578} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 107.347412°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15339928 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.084911°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26155 KachelY 24479 1.87356578 -1.15339928 107.347412 -66.084911
    Oben rechts KachelX + 1 26156 KachelY 24479 1.87375753 -1.15339928 107.358398 -66.084911
    Unten links KachelX 26155 KachelY + 1 24480 1.87356578 -1.15347701 107.347412 -66.089364
    Unten rechts KachelX + 1 26156 KachelY + 1 24480 1.87375753 -1.15347701 107.358398 -66.089364
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15339928--1.15347701) × R
    7.77300000001091e-05 × 6371000     		dl = 495.217830000695m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15339928--1.15347701) × R
    7.77300000001091e-05 × 6371000     		dr = 495.217830000695m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.87356578-1.87375753) × cos(-1.15339928) × R
    0.000191749999999935 × 0.405382346597455 × 6371000     		do = 495.230985860388m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.87356578-1.87375753) × cos(-1.15347701) × R
    0.000191749999999935 × 0.405311288708903 × 6371000     		du = 495.14417875471m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15339928)-sin(-1.15347701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.405382346597455-0.405311288708903)×R²
    abs(1.87375753-1.87356578)×7.10578885522728e-05×R²
    0.000191749999999935×7.10578885522728e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.10578885522728e-05×40589641000000     		ar = 245225.720076954m²