Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2615 / 651
↖ ↑ ↗
← N 76.618900°
E 49.833985°		 ← 2 261.73 m → N 76.618900°
E 49.921875°		 →
↑
2 263.43 m
↓
↑
2 263.43 m
↓
N 76.598545°
E 49.833985°		 ← 2 265.11 m →
5 123 086 m²		 N 76.598545°
E 49.921875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2615 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 651 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6385498046875 y=0.1590576171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6385498046875 × 212)
    floor (0.6385498046875 × 4096)
    floor (2615.5)     		tx = 2615
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1590576171875 × 212)
    floor (0.1590576171875 × 4096)
    floor (651.5)     		ty = 651
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2615 / 651 ti = "12/2615/651"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2615/651.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2615 ÷ 212
    2615 ÷ 4096     		x = 0.638427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 651 ÷ 212
    651 ÷ 4096     		y = 0.158935546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638427734375 × 2 - 1) × π
    0.27685546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.86976711
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.158935546875 × 2 - 1) × π
    0.68212890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.14297116061499
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86976711} λ = 0.86976711}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14297116061499))-π/2
    2×atan(8.52472837604946)-π/2
    2×1.45402420502621-π/2
    2.90804841005243-1.57079632675     		φ = 1.33725208
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86976711} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.833985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33725208 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.618900°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2615 KachelY 651 0.86976711 1.33725208 49.833985 76.618900
    Oben rechts KachelX + 1 2616 KachelY 651 0.87130109 1.33725208 49.921875 76.618900
    Unten links KachelX 2615 KachelY + 1 652 0.86976711 1.33689681 49.833985 76.598545
    Unten rechts KachelX + 1 2616 KachelY + 1 652 0.87130109 1.33689681 49.921875 76.598545
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33725208-1.33689681) × R
    0.000355270000000019 × 6371000     		dl = 2263.42517000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33725208-1.33689681) × R
    0.000355270000000019 × 6371000     		dr = 2263.42517000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86976711-0.87130109) × cos(1.33725208) × R
    0.00153398000000005 × 0.231426998420648 × 6371000     		do = 2261.73294981474m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86976711-0.87130109) × cos(1.33689681) × R
    0.00153398000000005 × 0.231772609035297 × 6371000     		du = 2265.11059771361m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33725208)-sin(1.33689681))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.231426998420648-0.231772609035297)×R²
    abs(0.87130109-0.86976711)×0.000345610614649799×R²
    0.00153398000000005×0.000345610614649799×6371000²
    0.00153398000000005×0.000345610614649799×40589641000000     		ar = 5123085.86694791m²