Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2615 / 618
↖ ↑ ↗
← N 77.273855°
E 49.833985°		 ← 2 152.90 m → N 77.273855°
E 49.921875°		 →
↑
2 154.48 m
↓
↑
2 154.48 m
↓
N 77.254479°
E 49.833985°		 ← 2 156.13 m →
4 641 864 m²		 N 77.254479°
E 49.921875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2615 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 618 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6385498046875 y=0.1510009765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6385498046875 × 212)
    floor (0.6385498046875 × 4096)
    floor (2615.5)     		tx = 2615
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1510009765625 × 212)
    floor (0.1510009765625 × 4096)
    floor (618.5)     		ty = 618
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2615 / 618 ti = "12/2615/618"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2615/618.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2615 ÷ 212
    2615 ÷ 4096     		x = 0.638427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 618 ÷ 212
    618 ÷ 4096     		y = 0.15087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638427734375 × 2 - 1) × π
    0.27685546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.86976711
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15087890625 × 2 - 1) × π
    0.6982421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.19359252661377
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86976711} λ = 0.86976711}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19359252661377))-π/2
    2×atan(8.9673708347593)-π/2
    2×1.45973975883225-π/2
    2.9194795176645-1.57079632675     		φ = 1.34868319
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86976711} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.833985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34868319 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.273855°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2615 KachelY 618 0.86976711 1.34868319 49.833985 77.273855
    Oben rechts KachelX + 1 2616 KachelY 618 0.87130109 1.34868319 49.921875 77.273855
    Unten links KachelX 2615 KachelY + 1 619 0.86976711 1.34834502 49.833985 77.254479
    Unten rechts KachelX + 1 2616 KachelY + 1 619 0.87130109 1.34834502 49.921875 77.254479
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34868319-1.34834502) × R
    0.000338170000000027 × 6371000     		dl = 2154.48107000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34868319-1.34834502) × R
    0.000338170000000027 × 6371000     		dr = 2154.48107000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86976711-0.87130109) × cos(1.34868319) × R
    0.00153398000000005 × 0.220291339119025 × 6371000     		do = 2152.90430090052m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86976711-0.87130109) × cos(1.34834502) × R
    0.00153398000000005 × 0.220621189073553 × 6371000     		du = 2156.12792007954m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34868319)-sin(1.34834502))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220291339119025-0.220621189073553)×R²
    abs(0.87130109-0.86976711)×0.000329849954528283×R²
    0.00153398000000005×0.000329849954528283×6371000²
    0.00153398000000005×0.000329849954528283×40589641000000     		ar = 4641864.21929886m²