Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2612 / 621
↖ ↑ ↗
← N 77.215639°
E 49.570312°		 ← 2 162.60 m → N 77.215639°
E 49.658203°		 →
↑
2 164.16 m
↓
↑
2 164.16 m
↓
N 77.196177°
E 49.570312°		 ← 2 165.84 m →
4 683 733 m²		 N 77.196177°
E 49.658203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2612 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 621 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6378173828125 y=0.1517333984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6378173828125 × 212)
    floor (0.6378173828125 × 4096)
    floor (2612.5)     		tx = 2612
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1517333984375 × 212)
    floor (0.1517333984375 × 4096)
    floor (621.5)     		ty = 621
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2612 / 621 ti = "12/2612/621"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2612/621.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2612 ÷ 212
    2612 ÷ 4096     		x = 0.6376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 621 ÷ 212
    621 ÷ 4096     		y = 0.151611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6376953125 × 2 - 1) × π
    0.275390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.86516516
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.151611328125 × 2 - 1) × π
    0.69677734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.18899058425024
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86516516} λ = 0.86516516}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18899058425024))-π/2
    2×atan(8.92619832045644)-π/2
    2×1.45923173552069-π/2
    2.91846347104137-1.57079632675     		φ = 1.34766714
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86516516} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.570312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34766714 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.215639°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2612 KachelY 621 0.86516516 1.34766714 49.570312 77.215639
    Oben rechts KachelX + 1 2613 KachelY 621 0.86669915 1.34766714 49.658203 77.215639
    Unten links KachelX 2612 KachelY + 1 622 0.86516516 1.34732745 49.570312 77.196177
    Unten rechts KachelX + 1 2613 KachelY + 1 622 0.86669915 1.34732745 49.658203 77.196177
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34766714-1.34732745) × R
    0.000339689999999893 × 6371000     		dl = 2164.16498999932m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34766714-1.34732745) × R
    0.000339689999999893 × 6371000     		dr = 2164.16498999932m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86516516-0.86669915) × cos(1.34766714) × R
    0.00153398999999999 × 0.221282315078211 × 6371000     		do = 2162.60319354696m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86516516-0.86669915) × cos(1.34732745) × R
    0.00153398999999999 × 0.221613571319039 × 6371000     		du = 2165.84057744745m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34766714)-sin(1.34732745))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.221282315078211-0.221613571319039)×R²
    abs(0.86669915-0.86516516)×0.000331256240828193×R²
    0.00153398999999999×0.000331256240828193×6371000²
    0.00153398999999999×0.000331256240828193×40589641000000     		ar = 4683733.28022591m²