Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26118 / 44525
↖ ↑ ↗
← S 54.101281°
W 36.529541°		 ← 358.14 m → S 54.101281°
W 36.524048°		 →
↑
358.11 m
↓
↑
358.11 m
↓
S 54.104502°
W 36.529541°		 ← 358.11 m →
128 249 m²		 S 54.104502°
W 36.524048°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26118 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44525 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.398536682128906 y=0.679405212402344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.398536682128906 × 216)
    floor (0.398536682128906 × 65536)
    floor (26118.5)     		tx = 26118
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679405212402344 × 216)
    floor (0.679405212402344 × 65536)
    floor (44525.5)     		ty = 44525
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26118 / 44525 ti = "16/26118/44525"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26118/44525.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26118 ÷ 216
    26118 ÷ 65536     		x = 0.398529052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44525 ÷ 216
    44525 ÷ 65536     		y = 0.679397583007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.398529052734375 × 2 - 1) × π
    -0.20294189453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.63756076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.679397583007812 × 2 - 1) × π
    -0.358795166015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.127188257666
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.63756076} λ = -0.63756076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.127188257666))-π/2
    2×atan(0.323942820835765)-π/2
    2×0.313275419742693-π/2
    0.626550839485385-1.57079632675     		φ = -0.94424549
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.63756076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -36.529541°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94424549 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.101281°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26118 KachelY 44525 -0.63756076 -0.94424549 -36.529541 -54.101281
    Oben rechts KachelX + 1 26119 KachelY 44525 -0.63746489 -0.94424549 -36.524048 -54.101281
    Unten links KachelX 26118 KachelY + 1 44526 -0.63756076 -0.94430170 -36.529541 -54.104502
    Unten rechts KachelX + 1 26119 KachelY + 1 44526 -0.63746489 -0.94430170 -36.524048 -54.104502
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94424549--0.94430170) × R
    5.6210000000001e-05 × 6371000     		dl = 358.113910000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94424549--0.94430170) × R
    5.6210000000001e-05 × 6371000     		dr = 358.113910000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.63756076--0.63746489) × cos(-0.94424549) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.586354240274306 × 6371000     		do = 358.137998847179m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.63756076--0.63746489) × cos(-0.94430170) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.58630870617028 × 6371000     		du = 358.110187173323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94424549)-sin(-0.94430170))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.586354240274306-0.58630870617028)×R²
    abs(-0.63746489--0.63756076)×4.55341040253021e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.55341040253021e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.55341040253021e-05×40589641000000     		ar = 128249.219246976m²