Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26111 / 44529
↖ ↑ ↗
← S 54.114163°
W 36.567993°		 ← 358.03 m → S 54.114163°
W 36.562500°		 →
↑
357.99 m
↓
↑
357.99 m
↓
S 54.117383°
W 36.567993°		 ← 358 m →
128 164 m²		 S 54.117383°
W 36.562500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44529 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.398429870605469 y=0.679466247558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.398429870605469 × 216)
    floor (0.398429870605469 × 65536)
    floor (26111.5)     		tx = 26111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679466247558594 × 216)
    floor (0.679466247558594 × 65536)
    floor (44529.5)     		ty = 44529
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26111 / 44529 ti = "16/26111/44529"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26111/44529.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26111 ÷ 216
    26111 ÷ 65536     		x = 0.398422241210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44529 ÷ 216
    44529 ÷ 65536     		y = 0.679458618164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.398422241210938 × 2 - 1) × π
    -0.203155517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.63823188
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.679458618164062 × 2 - 1) × π
    -0.358917236328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.12757175286296
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.63823188} λ = -0.63823188}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12757175286296))-π/2
    2×atan(0.323818614137743)-π/2
    2×0.313163005187604-π/2
    0.626326010375208-1.57079632675     		φ = -0.94447032
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.63823188} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -36.567993°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94447032 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.114163°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26111 KachelY 44529 -0.63823188 -0.94447032 -36.567993 -54.114163
    Oben rechts KachelX + 1 26112 KachelY 44529 -0.63813601 -0.94447032 -36.562500 -54.114163
    Unten links KachelX 26111 KachelY + 1 44530 -0.63823188 -0.94452651 -36.567993 -54.117383
    Unten rechts KachelX + 1 26112 KachelY + 1 44530 -0.63813601 -0.94452651 -36.562500 -54.117383
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94447032--0.94452651) × R
    5.61900000000115e-05 × 6371000     		dl = 357.986490000073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94447032--0.94452651) × R
    5.61900000000115e-05 × 6371000     		dr = 357.986490000073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.63823188--0.63813601) × cos(-0.94447032) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.586172100845766 × 6371000     		do = 358.026750311793m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.63823188--0.63813601) × cos(-0.94452651) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.586126575537404 × 6371000     		du = 357.99894401022m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94447032)-sin(-0.94452651))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.586172100845766-0.586126575537404)×R²
    abs(-0.63813601--0.63823188)×4.55253083622154e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.55253083622154e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.55253083622154e-05×40589641000000     		ar = 128163.762563916m²