Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 26096 / 44528
↖ ↑ ↗
← S 54.110943°
W 36.650391°		 ← 358.09 m → S 54.110943°
W 36.644897°		 →
↑
358.05 m
↓
↑
358.05 m
↓
S 54.114163°
W 36.650391°		 ← 358.06 m →
128 210 m²		 S 54.114163°
W 36.644897°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26096 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44528 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.398200988769531 y=0.679450988769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.398200988769531 × 216)
    floor (0.398200988769531 × 65536)
    floor (26096.5)     		tx = 26096
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.679450988769531 × 216)
    floor (0.679450988769531 × 65536)
    floor (44528.5)     		ty = 44528
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 26096 / 44528 ti = "16/26096/44528"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/26096/44528.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26096 ÷ 216
    26096 ÷ 65536     		x = 0.398193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44528 ÷ 216
    44528 ÷ 65536     		y = 0.679443359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.398193359375 × 2 - 1) × π
    -0.20361328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.63966999
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.679443359375 × 2 - 1) × π
    -0.35888671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.12747587906372
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.63966999} λ = -0.63966999}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.12747587906372))-π/2
    2×atan(0.323849661346829)-π/2
    2×0.31319110555223-π/2
    0.626382211104459-1.57079632675     		φ = -0.94441412
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.63966999} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -36.650391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.94441412 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -54.110943°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26096 KachelY 44528 -0.63966999 -0.94441412 -36.650391 -54.110943
    Oben rechts KachelX + 1 26097 KachelY 44528 -0.63957411 -0.94441412 -36.644897 -54.110943
    Unten links KachelX 26096 KachelY + 1 44529 -0.63966999 -0.94447032 -36.650391 -54.114163
    Unten rechts KachelX + 1 26097 KachelY + 1 44529 -0.63957411 -0.94447032 -36.644897 -54.114163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.94441412--0.94447032) × R
    5.61999999999507e-05 × 6371000     		dl = 358.050199999686m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.94441412--0.94447032) × R
    5.61999999999507e-05 × 6371000     		dr = 358.050199999686m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.63966999--0.63957411) × cos(-0.94441412) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.586217632404934 × 6371000     		do = 358.09190835683m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.63966999--0.63957411) × cos(-0.94447032) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.586172100845766 × 6371000     		du = 358.064095336525m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.94441412)-sin(-0.94447032))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.586217632404934-0.586172100845766)×R²
    abs(-0.63957411--0.63966999)×4.55315591678662e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.55315591678662e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.55315591678662e-05×40589641000000     		ar = 128209.900210501m²