Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2609 / 1524
↖ ↑ ↗
← N 81.133945°
W122.673340°		 ← 376.56 m → N 81.133945°
W122.651367°		 →
↑
376.65 m
↓
↑
376.65 m
↓
N 81.130557°
W122.673340°		 ← 376.70 m →
141 860 m²		 N 81.130557°
W122.651367°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2609 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1524 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.159271240234375 y=0.093048095703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.159271240234375 × 214)
    floor (0.159271240234375 × 16384)
    floor (2609.5)     		tx = 2609
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.093048095703125 × 214)
    floor (0.093048095703125 × 16384)
    floor (1524.5)     		ty = 1524
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2609 / 1524 ti = "14/2609/1524"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2609/1524.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2609 ÷ 214
    2609 ÷ 16384     		x = 0.15924072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1524 ÷ 214
    1524 ÷ 16384     		y = 0.093017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.15924072265625 × 2 - 1) × π
    -0.6815185546875 × 3.1415926535     		Λ = -2.14105368
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.093017578125 × 2 - 1) × π
    0.81396484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.55714597333228
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14105368} λ = -2.14105368}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55714597333228))-π/2
    2×atan(12.8989507820152)-π/2
    2×1.49342539950467-π/2
    2.98685079900934-1.57079632675     		φ = 1.41605447
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14105368} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.673340°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41605447 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.133945°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2609 KachelY 1524 -2.14105368 1.41605447 -122.673340 81.133945
    Oben rechts KachelX + 1 2610 KachelY 1524 -2.14067019 1.41605447 -122.651367 81.133945
    Unten links KachelX 2609 KachelY + 1 1525 -2.14105368 1.41599535 -122.673340 81.130557
    Unten rechts KachelX + 1 2610 KachelY + 1 1525 -2.14067019 1.41599535 -122.651367 81.130557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41605447-1.41599535) × R
    5.91199999999681e-05 × 6371000     		dl = 376.653519999797m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41605447-1.41599535) × R
    5.91199999999681e-05 × 6371000     		dr = 376.653519999797m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14105368--2.14067019) × cos(1.41605447) × R
    0.000383490000000375 × 0.154125045686959 × 6371000     		do = 376.560591132172m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14105368--2.14067019) × cos(1.41599535) × R
    0.000383490000000375 × 0.154183459013392 × 6371000     		du = 376.703307435246m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41605447)-sin(1.41599535))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154125045686959-0.154183459013392)×R²
    abs(-2.14067019--2.14105368)×5.84133264326381e-05×R²
    0.000383490000000375×5.84133264326381e-05×6371000²
    0.000383490000000375×5.84133264326381e-05×40589641000000     		ar = 141859.749483366m²