Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 26086 / 28138
↖ ↑ ↗
← N 71.093645°
W108.352661°		 ← 98.96 m → N 71.093645°
W108.349914°		 →
↑
99.01 m
↓
↑
99.01 m
↓
N 71.092755°
W108.352661°		 ← 98.97 m →
9 798 m²		 N 71.092755°
W108.349914°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26086 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28138 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.199024200439453 y=0.214679718017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.199024200439453 × 217)
    floor (0.199024200439453 × 131072)
    floor (26086.5)     		tx = 26086
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.214679718017578 × 217)
    floor (0.214679718017578 × 131072)
    floor (28138.5)     		ty = 28138
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 26086 / 28138 ti = "17/26086/28138"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/26086/28138.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26086 ÷ 217
    26086 ÷ 131072     		x = 0.199020385742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28138 ÷ 217
    28138 ÷ 131072     		y = 0.214675903320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.199020385742188 × 2 - 1) × π
    -0.601959228515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.89111069
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.214675903320312 × 2 - 1) × π
    0.570648193359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.79274417199086
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.89111069} λ = -1.89111069}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79274417199086))-π/2
    2×atan(6.00591112645047)-π/2
    2×1.40580725656002-π/2
    2.81161451312005-1.57079632675     		φ = 1.24081819
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.89111069} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -108.352661°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24081819 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.093645°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26086 KachelY 28138 -1.89111069 1.24081819 -108.352661 71.093645
    Oben rechts KachelX + 1 26087 KachelY 28138 -1.89106275 1.24081819 -108.349914 71.093645
    Unten links KachelX 26086 KachelY + 1 28139 -1.89111069 1.24080265 -108.352661 71.092755
    Unten rechts KachelX + 1 26087 KachelY + 1 28139 -1.89106275 1.24080265 -108.349914 71.092755
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24081819-1.24080265) × R
    1.55399999999251e-05 × 6371000     		dl = 99.0053399995225m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24081819-1.24080265) × R
    1.55399999999251e-05 × 6371000     		dr = 99.0053399995225m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.89111069--1.89106275) × cos(1.24081819) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.324022344799631 × 6371000     		do = 98.9647644373559m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.89111069--1.89106275) × cos(1.24080265) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.324037046368616 × 6371000     		du = 98.9692546749423m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24081819)-sin(1.24080265))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324022344799631-0.324037046368616)×R²
    abs(-1.89106275--1.89111069)×1.47015689849206e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.47015689849206e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.47015689849206e-05×40589641000000     		ar = 9798.26243004495m²