Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 26081 / 28129
↖ ↑ ↗
← N 71.101653°
W108.366394°		 ← 98.90 m → N 71.101653°
W108.363648°		 →
↑
98.94 m
↓
↑
98.94 m
↓
N 71.100763°
W108.366394°		 ← 98.91 m →
9 786 m²		 N 71.100763°
W108.363648°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26081 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28129 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.198986053466797 y=0.214611053466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.198986053466797 × 217)
    floor (0.198986053466797 × 131072)
    floor (26081.5)     		tx = 26081
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.214611053466797 × 217)
    floor (0.214611053466797 × 131072)
    floor (28129.5)     		ty = 28129
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 26081 / 28129 ti = "17/26081/28129"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/26081/28129.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26081 ÷ 217
    26081 ÷ 131072     		x = 0.198982238769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28129 ÷ 217
    28129 ÷ 131072     		y = 0.214607238769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.198982238769531 × 2 - 1) × π
    -0.602035522460938 × 3.1415926535     		Λ = -1.89135037
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.214607238769531 × 2 - 1) × π
    0.570785522460938 × 3.1415926535     		Φ = 1.79317560408744
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.89135037} λ = -1.89135037}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79317560408744))-π/2
    2×atan(6.00850282831111)-π/2
    2×1.40587713911786-π/2
    2.81175427823572-1.57079632675     		φ = 1.24095795
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.89135037} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -108.366394°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24095795 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.101653°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26081 KachelY 28129 -1.89135037 1.24095795 -108.366394 71.101653
    Oben rechts KachelX + 1 26082 KachelY 28129 -1.89130244 1.24095795 -108.363648 71.101653
    Unten links KachelX 26081 KachelY + 1 28130 -1.89135037 1.24094242 -108.366394 71.100763
    Unten rechts KachelX + 1 26082 KachelY + 1 28130 -1.89130244 1.24094242 -108.363648 71.100763
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24095795-1.24094242) × R
    1.55299999999858e-05 × 6371000     		dl = 98.9416299999097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24095795-1.24094242) × R
    1.55299999999858e-05 × 6371000     		dr = 98.9416299999097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.89135037--1.89130244) × cos(1.24095795) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.323890121767474 × 6371000     		do = 98.9037450799235m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.89135037--1.89130244) × cos(1.24094242) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.323904814579169 × 6371000     		du = 98.9082317067291m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24095795)-sin(1.24094242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323890121767474-0.323904814579169)×R²
    abs(-1.89130244--1.89135037)×1.46928116951384e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.46928116951384e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.46928116951384e-05×40589641000000     		ar = 9785.91970858288m²