Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26081 / 24993
↖ ↑ ↗
← S 68.273454°
E106.534424°		 ← 452.22 m → S 68.273454°
E106.545410°		 →
↑
452.21 m
↓
↑
452.21 m
↓
S 68.277521°
E106.534424°		 ← 452.14 m →
204 483 m²		 S 68.277521°
E106.545410°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26081 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24993 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.795944213867188 y=0.762741088867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.795944213867188 × 215)
    floor (0.795944213867188 × 32768)
    floor (26081.5)     		tx = 26081
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762741088867188 × 215)
    floor (0.762741088867188 × 32768)
    floor (24993.5)     		ty = 24993
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26081 / 24993 ti = "15/26081/24993"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26081/24993.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26081 ÷ 215
    26081 ÷ 32768     		x = 0.795928955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24993 ÷ 215
    24993 ÷ 32768     		y = 0.762725830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.795928955078125 × 2 - 1) × π
    0.59185791015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.85937646
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762725830078125 × 2 - 1) × π
    -0.52545166015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.65075507531625
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.85937646} λ = 1.85937646}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65075507531625))-π/2
    2×atan(0.191904951209035)-π/2
    2×0.18959988092218-π/2
    0.37919976184436-1.57079632675     		φ = -1.19159656
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.85937646} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 106.534424°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19159656 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.273454°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26081 KachelY 24993 1.85937646 -1.19159656 106.534424 -68.273454
    Oben rechts KachelX + 1 26082 KachelY 24993 1.85956821 -1.19159656 106.545410 -68.273454
    Unten links KachelX 26081 KachelY + 1 24994 1.85937646 -1.19166754 106.534424 -68.277521
    Unten rechts KachelX + 1 26082 KachelY + 1 24994 1.85956821 -1.19166754 106.545410 -68.277521
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19159656--1.19166754) × R
    7.09800000000538e-05 × 6371000     		dl = 452.213580000343m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19159656--1.19166754) × R
    7.09800000000538e-05 × 6371000     		dr = 452.213580000343m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.85937646-1.85956821) × cos(-1.19159656) × R
    0.000191749999999935 × 0.37017720245075 × 6371000     		do = 452.222999968879m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.85937646-1.85956821) × cos(-1.19166754) × R
    0.000191749999999935 × 0.370111263855086 × 6371000     		du = 452.142446792326m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19159656)-sin(-1.19166754))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.37017720245075-0.370111263855086)×R²
    abs(1.85956821-1.85937646)×6.59385956638392e-05×R²
    0.000191749999999935×6.59385956638392e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.59385956638392e-05×40589641000000     		ar = 204483.168239727m²