Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26079 / 24989
↖ ↑ ↗
← S 68.257181°
E106.512451°		 ← 452.52 m → S 68.257181°
E106.523437°		 →
↑
452.53 m
↓
↑
452.53 m
↓
S 68.261250°
E106.512451°		 ← 452.44 m →
204 762 m²		 S 68.261250°
E106.523437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26079 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24989 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.795883178710938 y=0.762619018554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.795883178710938 × 215)
    floor (0.795883178710938 × 32768)
    floor (26079.5)     		tx = 26079
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762619018554688 × 215)
    floor (0.762619018554688 × 32768)
    floor (24989.5)     		ty = 24989
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26079 / 24989 ti = "15/26079/24989"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26079/24989.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26079 ÷ 215
    26079 ÷ 32768     		x = 0.795867919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24989 ÷ 215
    24989 ÷ 32768     		y = 0.762603759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.795867919921875 × 2 - 1) × π
    0.59173583984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.85899297
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762603759765625 × 2 - 1) × π
    -0.52520751953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.64998808492233
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.85899297} λ = 1.85899297}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64998808492233))-π/2
    2×atan(0.192052196923964)-π/2
    2×0.189741892683659-π/2
    0.379483785367317-1.57079632675     		φ = -1.19131254
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.85899297} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 106.512451°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19131254 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.257181°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26079 KachelY 24989 1.85899297 -1.19131254 106.512451 -68.257181
    Oben rechts KachelX + 1 26080 KachelY 24989 1.85918471 -1.19131254 106.523437 -68.257181
    Unten links KachelX 26079 KachelY + 1 24990 1.85899297 -1.19138357 106.512451 -68.261250
    Unten rechts KachelX + 1 26080 KachelY + 1 24990 1.85918471 -1.19138357 106.523437 -68.261250
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19131254--1.19138357) × R
    7.10299999999719e-05 × 6371000     		dl = 452.532129999821m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19131254--1.19138357) × R
    7.10299999999719e-05 × 6371000     		dr = 452.532129999821m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.85899297-1.85918471) × cos(-1.19131254) × R
    0.000191739999999996 × 0.370441031065563 × 6371000     		do = 452.521702562061m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.85899297-1.85918471) × cos(-1.19138357) × R
    0.000191739999999996 × 0.370375053490455 × 6371000     		du = 452.441105970122m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19131254)-sin(-1.19138357))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.370441031065563-0.370375053490455)×R²
    abs(1.85918471-1.85899297)×6.59775751073455e-05×R²
    0.000191739999999996×6.59775751073455e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.59775751073455e-05×40589641000000     		ar = 204762.373743824m²