Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26077 / 24990
↖ ↑ ↗
← S 68.261250°
E106.490478°		 ← 452.46 m → S 68.261250°
E106.501465°		 →
↑
452.40 m
↓
↑
452.40 m
↓
S 68.265319°
E106.490478°		 ← 452.38 m →
204 679 m²		 S 68.265319°
E106.501465°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26077 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24990 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.795822143554688 y=0.762649536132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.795822143554688 × 215)
    floor (0.795822143554688 × 32768)
    floor (26077.5)     		tx = 26077
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762649536132812 × 215)
    floor (0.762649536132812 × 32768)
    floor (24990.5)     		ty = 24990
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26077 / 24990 ti = "15/26077/24990"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26077/24990.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26077 ÷ 215
    26077 ÷ 32768     		x = 0.795806884765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24990 ÷ 215
    24990 ÷ 32768     		y = 0.76263427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.795806884765625 × 2 - 1) × π
    0.59161376953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.85860947
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76263427734375 × 2 - 1) × π
    -0.5252685546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.65017983252081
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.85860947} λ = 1.85860947}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65017983252081))-π/2
    2×atan(0.1920153749068)-π/2
    2×0.189706380257353-π/2
    0.379412760514706-1.57079632675     		φ = -1.19138357
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.85860947} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 106.490478°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19138357 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.261250°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26077 KachelY 24990 1.85860947 -1.19138357 106.490478 -68.261250
    Oben rechts KachelX + 1 26078 KachelY 24990 1.85880122 -1.19138357 106.501465 -68.261250
    Unten links KachelX 26077 KachelY + 1 24991 1.85860947 -1.19145458 106.490478 -68.265319
    Unten rechts KachelX + 1 26078 KachelY + 1 24991 1.85880122 -1.19145458 106.501465 -68.265319
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19138357--1.19145458) × R
    7.10100000000935e-05 × 6371000     		dl = 452.404710000596m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19138357--1.19145458) × R
    7.10100000000935e-05 × 6371000     		dr = 452.404710000596m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.85860947-1.85880122) × cos(-1.19138357) × R
    0.000191749999999935 × 0.370375053490455 × 6371000     		do = 452.464702564636m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.85860947-1.85880122) × cos(-1.19145458) × R
    0.000191749999999935 × 0.370309092624881 × 6371000     		du = 452.384122182287m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19138357)-sin(-1.19145458))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.370375053490455-0.370309092624881)×R²
    abs(1.85880122-1.85860947)×6.59608655741994e-05×R²
    0.000191749999999935×6.59608655741994e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.59608655741994e-05×40589641000000     		ar = 204678.935163157m²