Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26075 / 24827
↖ ↑ ↗
← S 67.588287°
E106.468506°		 ← 465.74 m → S 67.588287°
E106.479492°		 →
↑
465.72 m
↓
↑
465.72 m
↓
S 67.592475°
E106.468506°		 ← 465.65 m →
216 884 m²		 S 67.592475°
E106.479492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26075 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24827 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.795761108398438 y=0.757675170898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.795761108398438 × 215)
    floor (0.795761108398438 × 32768)
    floor (26075.5)     		tx = 26075
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757675170898438 × 215)
    floor (0.757675170898438 × 32768)
    floor (24827.5)     		ty = 24827
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26075 / 24827 ti = "15/26075/24827"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26075/24827.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26075 ÷ 215
    26075 ÷ 32768     		x = 0.795745849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24827 ÷ 215
    24827 ÷ 32768     		y = 0.757659912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.795745849609375 × 2 - 1) × π
    0.59149169921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.85822598
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757659912109375 × 2 - 1) × π
    -0.51531982421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.61892497396854
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.85822598} λ = 1.85822598}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61892497396854))-π/2
    2×atan(0.198111559731591)-π/2
    2×0.195579094226059-π/2
    0.391158188452117-1.57079632675     		φ = -1.17963814
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.85822598} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 106.468506°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17963814 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.588287°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26075 KachelY 24827 1.85822598 -1.17963814 106.468506 -67.588287
    Oben rechts KachelX + 1 26076 KachelY 24827 1.85841772 -1.17963814 106.479492 -67.588287
    Unten links KachelX 26075 KachelY + 1 24828 1.85822598 -1.17971124 106.468506 -67.592475
    Unten rechts KachelX + 1 26076 KachelY + 1 24828 1.85841772 -1.17971124 106.479492 -67.592475
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17963814--1.17971124) × R
    7.31000000000481e-05 × 6371000     		dl = 465.720100000307m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17963814--1.17971124) × R
    7.31000000000481e-05 × 6371000     		dr = 465.720100000307m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.85822598-1.85841772) × cos(-1.17963814) × R
    0.000191739999999996 × 0.381259377351575 × 6371000     		do = 465.737129768304m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.85822598-1.85841772) × cos(-1.17971124) × R
    0.000191739999999996 × 0.381191797714113 × 6371000     		du = 465.654576136178m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17963814)-sin(-1.17971124))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.381259377351575-0.381191797714113)×R²
    abs(1.85841772-1.85822598)×6.75796374621784e-05×R²
    0.000191739999999996×6.75796374621784e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.75796374621784e-05×40589641000000     		ar = 216883.919303695m²