Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2606 / 623
↖ ↑ ↗
← N 77.176684°
E 49.042969°		 ← 2 169.07 m → N 77.176684°
E 49.130859°		 →
↑
2 170.66 m
↓
↑
2 170.66 m
↓
N 77.157163°
E 49.042969°		 ← 2 172.32 m →
4 711 841 m²		 N 77.157163°
E 49.130859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2606 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 623 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6363525390625 y=0.1522216796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6363525390625 × 212)
    floor (0.6363525390625 × 4096)
    floor (2606.5)     		tx = 2606
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1522216796875 × 212)
    floor (0.1522216796875 × 4096)
    floor (623.5)     		ty = 623
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2606 / 623 ti = "12/2606/623"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2606/623.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2606 ÷ 212
    2606 ÷ 4096     		x = 0.63623046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 623 ÷ 212
    623 ÷ 4096     		y = 0.152099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63623046875 × 2 - 1) × π
    0.2724609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.85596128
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152099609375 × 2 - 1) × π
    0.69580078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.18592262267456
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85596128} λ = 0.85596128}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18592262267456))-π/2
    2×atan(8.8988550524872)-π/2
    2×1.45889178443587-π/2
    2.91778356887174-1.57079632675     		φ = 1.34698724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85596128} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.042969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34698724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.176684°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2606 KachelY 623 0.85596128 1.34698724 49.042969 77.176684
    Oben rechts KachelX + 1 2607 KachelY 623 0.85749526 1.34698724 49.130859 77.176684
    Unten links KachelX 2606 KachelY + 1 624 0.85596128 1.34664653 49.042969 77.157163
    Unten rechts KachelX + 1 2607 KachelY + 1 624 0.85749526 1.34664653 49.130859 77.157163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34698724-1.34664653) × R
    0.000340710000000133 × 6371000     		dl = 2170.66341000085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34698724-1.34664653) × R
    0.000340710000000133 × 6371000     		dr = 2170.66341000085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85596128-0.85749526) × cos(1.34698724) × R
    0.00153397999999993 × 0.221945309018804 × 6371000     		do = 2169.06852653464m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85596128-0.85749526) × cos(1.34664653) × R
    0.00153397999999993 × 0.222277508521736 × 6371000     		du = 2172.31510781867m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34698724)-sin(1.34664653))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.221945309018804-0.222277508521736)×R²
    abs(0.85749526-0.85596128)×0.000332199502932035×R²
    0.00153397999999993×0.000332199502932035×6371000²
    0.00153397999999993×0.000332199502932035×40589641000000     		ar = 4711841.3475114m²