Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26056 / 24841
↖ ↑ ↗
← S 67.646855°
E106.259765°		 ← 464.61 m → S 67.646855°
E106.270752°		 →
↑
464.57 m
↓
↑
464.57 m
↓
S 67.651033°
E106.259765°		 ← 464.52 m →
215 825 m²		 S 67.651033°
E106.270752°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26056 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24841 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.795181274414062 y=0.758102416992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.795181274414062 × 215)
    floor (0.795181274414062 × 32768)
    floor (26056.5)     		tx = 26056
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758102416992188 × 215)
    floor (0.758102416992188 × 32768)
    floor (24841.5)     		ty = 24841
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26056 / 24841 ti = "15/26056/24841"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26056/24841.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26056 ÷ 215
    26056 ÷ 32768     		x = 0.795166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24841 ÷ 215
    24841 ÷ 32768     		y = 0.758087158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.795166015625 × 2 - 1) × π
    0.59033203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.85458277
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758087158203125 × 2 - 1) × π
    -0.51617431640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.62160944034726
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.85458277} λ = 1.85458277}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62160944034726))-π/2
    2×atan(0.197580449103515)-π/2
    2×0.195067989790308-π/2
    0.390135979580616-1.57079632675     		φ = -1.18066035
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.85458277} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 106.259765°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18066035 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.646855°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26056 KachelY 24841 1.85458277 -1.18066035 106.259765 -67.646855
    Oben rechts KachelX + 1 26057 KachelY 24841 1.85477452 -1.18066035 106.270752 -67.646855
    Unten links KachelX 26056 KachelY + 1 24842 1.85458277 -1.18073327 106.259765 -67.651033
    Unten rechts KachelX + 1 26057 KachelY + 1 24842 1.85477452 -1.18073327 106.270752 -67.651033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18066035--1.18073327) × R
    7.29200000000318e-05 × 6371000     		dl = 464.573320000203m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18066035--1.18073327) × R
    7.29200000000318e-05 × 6371000     		dr = 464.573320000203m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.85458277-1.85477452) × cos(-1.18066035) × R
    0.000191750000000157 × 0.380314177777521 × 6371000     		do = 464.606726904879m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.85458277-1.85477452) × cos(-1.18073327) × R
    0.000191750000000157 × 0.380246736168163 × 6371000     		du = 464.524337587804m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18066035)-sin(-1.18073327))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380314177777521-0.380246736168163)×R²
    abs(1.85477452-1.85458277)×6.74416093580654e-05×R²
    0.000191750000000157×6.74416093580654e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.74416093580654e-05×40589641000000     		ar = 215824.751768552m²