Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26056 / 24397
↖ ↑ ↗
← S 65.717076°
E106.259765°		 ← 502.39 m → S 65.717076°
E106.270752°		 →
↑
502.35 m
↓
↑
502.35 m
↓
S 65.721594°
E106.259765°		 ← 502.30 m →
252 355 m²		 S 65.721594°
E106.270752°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26056 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24397 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.795181274414062 y=0.744552612304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.795181274414062 × 215)
    floor (0.795181274414062 × 32768)
    floor (26056.5)     		tx = 26056
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744552612304688 × 215)
    floor (0.744552612304688 × 32768)
    floor (24397.5)     		ty = 24397
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26056 / 24397 ti = "15/26056/24397"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26056/24397.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26056 ÷ 215
    26056 ÷ 32768     		x = 0.795166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24397 ÷ 215
    24397 ÷ 32768     		y = 0.744537353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.795166015625 × 2 - 1) × π
    0.59033203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.85458277
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744537353515625 × 2 - 1) × π
    -0.48907470703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.53647350662204
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.85458277} λ = 1.85458277}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53647350662204))-π/2
    2×atan(0.215138449568248)-π/2
    2×0.211908488752786-π/2
    0.423816977505572-1.57079632675     		φ = -1.14697935
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.85458277} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 106.259765°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14697935 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.717076°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26056 KachelY 24397 1.85458277 -1.14697935 106.259765 -65.717076
    Oben rechts KachelX + 1 26057 KachelY 24397 1.85477452 -1.14697935 106.270752 -65.717076
    Unten links KachelX 26056 KachelY + 1 24398 1.85458277 -1.14705820 106.259765 -65.721594
    Unten rechts KachelX + 1 26057 KachelY + 1 24398 1.85477452 -1.14705820 106.270752 -65.721594
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14697935--1.14705820) × R
    7.88499999999637e-05 × 6371000     		dl = 502.353349999769m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14697935--1.14705820) × R
    7.88499999999637e-05 × 6371000     		dr = 502.353349999769m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.85458277-1.85477452) × cos(-1.14697935) × R
    0.000191750000000157 × 0.411242713502508 × 6371000     		do = 502.39024009158m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.85458277-1.85477452) × cos(-1.14705820) × R
    0.000191750000000157 × 0.4111708384085 × 6371000     		du = 502.302434655643m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14697935)-sin(-1.14705820))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.411242713502508-0.4111708384085)×R²
    abs(1.85477452-1.85458277)×7.18750940072455e-05×R²
    0.000191750000000157×7.18750940072455e-05×6371000²
    0.000191750000000157×7.18750940072455e-05×40589641000000     		ar = 252355.365570646m²