Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2605 / 629
↖ ↑ ↗
← N 77.059116°
E 48.955078°		 ← 2 188.62 m → N 77.059116°
E 49.042969°		 →
↑
2 190.22 m
↓
↑
2 190.22 m
↓
N 77.039419°
E 48.955078°		 ← 2 191.89 m →
4 797 145 m²		 N 77.039419°
E 49.042969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2605 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 629 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.6361083984375 y=0.1536865234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.6361083984375 × 212)
    floor (0.6361083984375 × 4096)
    floor (2605.5)     		tx = 2605
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1536865234375 × 212)
    floor (0.1536865234375 × 4096)
    floor (629.5)     		ty = 629
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2605 / 629 ti = "12/2605/629"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2605/629.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2605 ÷ 212
    2605 ÷ 4096     		x = 0.635986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 629 ÷ 212
    629 ÷ 4096     		y = 0.153564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.635986328125 × 2 - 1) × π
    0.27197265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.85442730
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.153564453125 × 2 - 1) × π
    0.69287109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.17671873794751
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.85442730} λ = 0.85442730}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17671873794751))-π/2
    2×atan(8.81732678032188)-π/2
    2×1.45786580880343-π/2
    2.91573161760686-1.57079632675     		φ = 1.34493529
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.85442730} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 48.955078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34493529 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.059116°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2605 KachelY 629 0.85442730 1.34493529 48.955078 77.059116
    Oben rechts KachelX + 1 2606 KachelY 629 0.85596128 1.34493529 49.042969 77.059116
    Unten links KachelX 2605 KachelY + 1 630 0.85442730 1.34459151 48.955078 77.039419
    Unten rechts KachelX + 1 2606 KachelY + 1 630 0.85596128 1.34459151 49.042969 77.039419
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34493529-1.34459151) × R
    0.000343779999999905 × 6371000     		dl = 2190.22237999939m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34493529-1.34459151) × R
    0.000343779999999905 × 6371000     		dr = 2190.22237999939m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.85442730-0.85596128) × cos(1.34493529) × R
    0.00153398000000005 × 0.22394561291789 × 6371000     		do = 2188.61746969648m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.85442730-0.85596128) × cos(1.34459151) × R
    0.00153398000000005 × 0.224280648230635 × 6371000     		du = 2191.89176531176m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34493529)-sin(1.34459151))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.22394561291789-0.224280648230635)×R²
    abs(0.85596128-0.85442730)×0.000335035312745008×R²
    0.00153398000000005×0.000335035312745008×6371000²
    0.00153398000000005×0.000335035312745008×40589641000000     		ar = 4797144.72840354m²