Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26048 / 24767
↖ ↑ ↗
← S 67.335628°
E106.171875°		 ← 470.74 m → S 67.335628°
E106.182861°		 →
↑
470.69 m
↓
↑
470.69 m
↓
S 67.339861°
E106.171875°		 ← 470.65 m →
221 551 m²		 S 67.339861°
E106.182861°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26048 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24767 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.794937133789062 y=0.755844116210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.794937133789062 × 215)
    floor (0.794937133789062 × 32768)
    floor (26048.5)     		tx = 26048
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755844116210938 × 215)
    floor (0.755844116210938 × 32768)
    floor (24767.5)     		ty = 24767
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26048 / 24767 ti = "15/26048/24767"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26048/24767.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26048 ÷ 215
    26048 ÷ 32768     		x = 0.794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24767 ÷ 215
    24767 ÷ 32768     		y = 0.755828857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.794921875 × 2 - 1) × π
    0.58984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.85304879
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755828857421875 × 2 - 1) × π
    -0.51165771484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.60742011805972
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.85304879} λ = 1.85304879}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60742011805972))-π/2
    2×atan(0.200403966298275)-π/2
    2×0.197783958790213-π/2
    0.395567917580426-1.57079632675     		φ = -1.17522841
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.85304879} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 106.171875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17522841 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.335628°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26048 KachelY 24767 1.85304879 -1.17522841 106.171875 -67.335628
    Oben rechts KachelX + 1 26049 KachelY 24767 1.85324054 -1.17522841 106.182861 -67.335628
    Unten links KachelX 26048 KachelY + 1 24768 1.85304879 -1.17530229 106.171875 -67.339861
    Unten rechts KachelX + 1 26049 KachelY + 1 24768 1.85324054 -1.17530229 106.182861 -67.339861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17522841--1.17530229) × R
    7.38800000001927e-05 × 6371000     		dl = 470.689480001228m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17522841--1.17530229) × R
    7.38800000001927e-05 × 6371000     		dr = 470.689480001228m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.85304879-1.85324054) × cos(-1.17522841) × R
    0.000191750000000157 × 0.385332311974609 × 6371000     		do = 470.737076601813m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.85304879-1.85324054) × cos(-1.17530229) × R
    0.000191750000000157 × 0.385264136093535 × 6371000     		du = 470.653790269589m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17522841)-sin(-1.17530229))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.385332311974609-0.385264136093535)×R²
    abs(1.85324054-1.85304879)×6.81758810744948e-05×R²
    0.000191750000000157×6.81758810744948e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.81758810744948e-05×40589641000000     		ar = 221551.388903828m²