Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 2604 / 1580
↖ ↑ ↗
← N 80.942273°
W122.783203°		 ← 384.63 m → N 80.942273°
W122.761231°		 →
↑
384.68 m
↓
↑
384.68 m
↓
N 80.938813°
W122.783203°		 ← 384.78 m →
147 989 m²		 N 80.938813°
W122.761231°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2604 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1580 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158966064453125 y=0.096466064453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158966064453125 × 214)
    floor (0.158966064453125 × 16384)
    floor (2604.5)     		tx = 2604
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.096466064453125 × 214)
    floor (0.096466064453125 × 16384)
    floor (1580.5)     		ty = 1580
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2604 / 1580 ti = "14/2604/1580"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2604/1580.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2604 ÷ 214
    2604 ÷ 16384     		x = 0.158935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1580 ÷ 214
    1580 ÷ 16384     		y = 0.096435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158935546875 × 2 - 1) × π
    -0.68212890625 × 3.1415926535     		Λ = -2.14297116
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.096435546875 × 2 - 1) × π
    0.80712890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.53567024230249
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14297116} λ = -2.14297116}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53567024230249))-π/2
    2×atan(12.6248897481374)-π/2
    2×1.49175274521441-π/2
    2.98350549042882-1.57079632675     		φ = 1.41270916
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14297116} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.783203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41270916 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.942273°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2604 KachelY 1580 -2.14297116 1.41270916 -122.783203 80.942273
    Oben rechts KachelX + 1 2605 KachelY 1580 -2.14258767 1.41270916 -122.761231 80.942273
    Unten links KachelX 2604 KachelY + 1 1581 -2.14297116 1.41264878 -122.783203 80.938813
    Unten rechts KachelX + 1 2605 KachelY + 1 1581 -2.14258767 1.41264878 -122.761231 80.938813
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41270916-1.41264878) × R
    6.037999999986e-05 × 6371000     		dl = 384.680979999108m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41270916-1.41264878) × R
    6.037999999986e-05 × 6371000     		dr = 384.680979999108m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14297116--2.14258767) × cos(1.41270916) × R
    0.000383489999999931 × 0.157429515170146 × 6371000     		do = 384.63411984616m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14297116--2.14258767) × cos(1.41264878) × R
    0.000383489999999931 × 0.157489141958196 × 6371000     		du = 384.779800896606m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41270916)-sin(1.41264878))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157429515170146-0.157489141958196)×R²
    abs(-2.14258767--2.14297116)×5.96267880505763e-05×R²
    0.000383489999999931×5.96267880505763e-05×6371000²
    0.000383489999999931×5.96267880505763e-05×40589641000000     		ar = 147989.450572495m²