Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 2604 / 1572
↖ ↑ ↗
← N 80.969904°
W122.783203°		 ← 383.47 m → N 80.969904°
W122.761231°		 →
↑
383.53 m
↓
↑
383.53 m
↓
N 80.966455°
W122.783203°		 ← 383.62 m →
147 102 m²		 N 80.966455°
W122.761231°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2604 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1572 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158966064453125 y=0.095977783203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158966064453125 × 214)
    floor (0.158966064453125 × 16384)
    floor (2604.5)     		tx = 2604
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.095977783203125 × 214)
    floor (0.095977783203125 × 16384)
    floor (1572.5)     		ty = 1572
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2604 / 1572 ti = "14/2604/1572"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2604/1572.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2604 ÷ 214
    2604 ÷ 16384     		x = 0.158935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1572 ÷ 214
    1572 ÷ 16384     		y = 0.095947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158935546875 × 2 - 1) × π
    -0.68212890625 × 3.1415926535     		Λ = -2.14297116
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.095947265625 × 2 - 1) × π
    0.80810546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.53873820387817
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14297116} λ = -2.14297116}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53873820387817))-π/2
    2×atan(12.6636819007715)-π/2
    2×1.4919938735929-π/2
    2.9839877471858-1.57079632675     		φ = 1.41319142
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14297116} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.783203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41319142 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.969904°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2604 KachelY 1572 -2.14297116 1.41319142 -122.783203 80.969904
    Oben rechts KachelX + 1 2605 KachelY 1572 -2.14258767 1.41319142 -122.761231 80.969904
    Unten links KachelX 2604 KachelY + 1 1573 -2.14297116 1.41313122 -122.783203 80.966455
    Unten rechts KachelX + 1 2605 KachelY + 1 1573 -2.14258767 1.41313122 -122.761231 80.966455
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41319142-1.41313122) × R
    6.02000000000658e-05 × 6371000     		dl = 383.534200000419m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41319142-1.41313122) × R
    6.02000000000658e-05 × 6371000     		dr = 383.534200000419m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14297116--2.14258767) × cos(1.41319142) × R
    0.000383489999999931 × 0.156953250554634 × 6371000     		do = 383.47050309359m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14297116--2.14258767) × cos(1.41313122) × R
    0.000383489999999931 × 0.157012704153405 × 6371000     		du = 383.615761005424m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41319142)-sin(1.41313122))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156953250554634-0.157012704153405)×R²
    abs(-2.14258767--2.14297116)×5.94535987703537e-05×R²
    0.000383489999999931×5.94535987703537e-05×6371000²
    0.000383489999999931×5.94535987703537e-05×40589641000000     		ar = 147101.9083608m²