Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26038 / 24748
↖ ↑ ↗
← S 67.255058°
E106.062012°		 ← 472.30 m → S 67.255058°
E106.072998°		 →
↑
472.28 m
↓
↑
472.28 m
↓
S 67.259305°
E106.062012°		 ← 472.21 m →
223 038 m²		 S 67.259305°
E106.072998°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26038 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24748 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.794631958007812 y=0.755264282226562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.794631958007812 × 215)
    floor (0.794631958007812 × 32768)
    floor (26038.5)     		tx = 26038
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755264282226562 × 215)
    floor (0.755264282226562 × 32768)
    floor (24748.5)     		ty = 24748
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26038 / 24748 ti = "15/26038/24748"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26038/24748.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26038 ÷ 215
    26038 ÷ 32768     		x = 0.79461669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24748 ÷ 215
    24748 ÷ 32768     		y = 0.7552490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.79461669921875 × 2 - 1) × π
    0.5892333984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.85113132
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7552490234375 × 2 - 1) × π
    -0.510498046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.6037769136886
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.85113132} λ = 1.85113132}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6037769136886))-π/2
    2×atan(0.201135410495598)-π/2
    2×0.198487061949986-π/2
    0.396974123899972-1.57079632675     		φ = -1.17382220
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.85113132} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 106.062012°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17382220 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.255058°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26038 KachelY 24748 1.85113132 -1.17382220 106.062012 -67.255058
    Oben rechts KachelX + 1 26039 KachelY 24748 1.85132306 -1.17382220 106.072998 -67.255058
    Unten links KachelX 26038 KachelY + 1 24749 1.85113132 -1.17389633 106.062012 -67.259305
    Unten rechts KachelX + 1 26039 KachelY + 1 24749 1.85132306 -1.17389633 106.072998 -67.259305
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17382220--1.17389633) × R
    7.41300000000056e-05 × 6371000     		dl = 472.282230000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17382220--1.17389633) × R
    7.41300000000056e-05 × 6371000     		dr = 472.282230000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.85113132-1.85132306) × cos(-1.17382220) × R
    0.000191739999999996 × 0.386629550041545 × 6371000     		do = 472.297201371947m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.85113132-1.85132306) × cos(-1.17389633) × R
    0.000191739999999996 × 0.386561183690874 × 6371000     		du = 472.213686710208m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17382220)-sin(-1.17389633))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.386629550041545-0.386561183690874)×R²
    abs(1.85132306-1.85113132)×6.83663506714227e-05×R²
    0.000191739999999996×6.83663506714227e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.83663506714227e-05×40589641000000     		ar = 223037.854343325m²