Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 26032 / 28112
↖ ↑ ↗
← N 71.116771°
W108.500976°		 ← 98.83 m → N 71.116771°
W108.498230°		 →
↑
98.88 m
↓
↑
98.88 m
↓
N 71.115881°
W108.500976°		 ← 98.83 m →
9 772 m²		 N 71.115881°
W108.498230°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28112 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.198612213134766 y=0.214481353759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.198612213134766 × 217)
    floor (0.198612213134766 × 131072)
    floor (26032.5)     		tx = 26032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.214481353759766 × 217)
    floor (0.214481353759766 × 131072)
    floor (28112.5)     		ty = 28112
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 26032 / 28112 ti = "17/26032/28112"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/26032/28112.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26032 ÷ 217
    26032 ÷ 131072     		x = 0.1986083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28112 ÷ 217
    28112 ÷ 131072     		y = 0.2144775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1986083984375 × 2 - 1) × π
    -0.602783203125 × 3.1415926535     		Λ = -1.89369928
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2144775390625 × 2 - 1) × π
    0.571044921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.79399053138098
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.89369928} λ = -1.89369928}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79399053138098))-π/2
    2×atan(6.01340131694417)-π/2
    2×1.40600906170335-π/2
    2.81201812340671-1.57079632675     		φ = 1.24122180
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.89369928} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -108.500976°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24122180 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.116771°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26032 KachelY 28112 -1.89369928 1.24122180 -108.500976 71.116771
    Oben rechts KachelX + 1 26033 KachelY 28112 -1.89365135 1.24122180 -108.498230 71.116771
    Unten links KachelX 26032 KachelY + 1 28113 -1.89369928 1.24120628 -108.500976 71.115881
    Unten rechts KachelX + 1 26033 KachelY + 1 28113 -1.89365135 1.24120628 -108.498230 71.115881
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24122180-1.24120628) × R
    1.55199999998246e-05 × 6371000     		dl = 98.8779199988823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24122180-1.24120628) × R
    1.55199999998246e-05 × 6371000     		dr = 98.8779199988823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.89369928--1.89365135) × cos(1.24122180) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.323640483408607 × 6371000     		do = 98.8275150038942m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.89369928--1.89365135) × cos(1.24120628) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.323655168085239 × 6371000     		du = 98.8319991465603m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24122180)-sin(1.24120628))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323640483408607-0.323655168085239)×R²
    abs(-1.89365135--1.89369928)×1.46846766316822e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.46846766316822e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.46846766316822e-05×40589641000000     		ar = 9772.08081380659m²