Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26027 / 24868
↖ ↑ ↗
← S 67.759398°
E105.941162°		 ← 462.39 m → S 67.759398°
E105.952148°		 →
↑
462.34 m
↓
↑
462.34 m
↓
S 67.763556°
E105.941162°		 ← 462.30 m →
213 762 m²		 S 67.763556°
E105.952148°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26027 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24868 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.794296264648438 y=0.758926391601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.794296264648438 × 215)
    floor (0.794296264648438 × 32768)
    floor (26027.5)     		tx = 26027
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758926391601562 × 215)
    floor (0.758926391601562 × 32768)
    floor (24868.5)     		ty = 24868
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26027 / 24868 ti = "15/26027/24868"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26027/24868.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26027 ÷ 215
    26027 ÷ 32768     		x = 0.794281005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24868 ÷ 215
    24868 ÷ 32768     		y = 0.7589111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.794281005859375 × 2 - 1) × π
    0.58856201171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.84902209
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7589111328125 × 2 - 1) × π
    -0.517822265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.62678662550623
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.84902209} λ = 1.84902209}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62678662550623))-π/2
    2×atan(0.196560181869777)-π/2
    2×0.194085865119315-π/2
    0.38817173023863-1.57079632675     		φ = -1.18262460
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.84902209} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.941162°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18262460 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.759398°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26027 KachelY 24868 1.84902209 -1.18262460 105.941162 -67.759398
    Oben rechts KachelX + 1 26028 KachelY 24868 1.84921384 -1.18262460 105.952148 -67.759398
    Unten links KachelX 26027 KachelY + 1 24869 1.84902209 -1.18269717 105.941162 -67.763556
    Unten rechts KachelX + 1 26028 KachelY + 1 24869 1.84921384 -1.18269717 105.952148 -67.763556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18262460--1.18269717) × R
    7.25699999999385e-05 × 6371000     		dl = 462.343469999608m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18262460--1.18269717) × R
    7.25699999999385e-05 × 6371000     		dr = 462.343469999608m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.84902209-1.84921384) × cos(-1.18262460) × R
    0.000191749999999935 × 0.378496794208438 × 6371000     		do = 462.386539804043m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.84902209-1.84921384) × cos(-1.18269717) × R
    0.000191749999999935 × 0.378429622231013 × 6371000     		du = 462.304479879921m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18262460)-sin(-1.18269717))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.378496794208438-0.378429622231013)×R²
    abs(1.84921384-1.84902209)×6.71719774246182e-05×R²
    0.000191749999999935×6.71719774246182e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.71719774246182e-05×40589641000000     		ar = 213762.427452495m²