Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26026 / 24882
↖ ↑ ↗
← S 67.817542°
E105.930176°		 ← 461.24 m → S 67.817542°
E105.941162°		 →
↑
461.20 m
↓
↑
461.20 m
↓
S 67.821690°
E105.930176°		 ← 461.16 m →
212 703 m²		 S 67.821690°
E105.941162°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26026 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24882 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.794265747070312 y=0.759353637695312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.794265747070312 × 215)
    floor (0.794265747070312 × 32768)
    floor (26026.5)     		tx = 26026
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759353637695312 × 215)
    floor (0.759353637695312 × 32768)
    floor (24882.5)     		ty = 24882
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26026 / 24882 ti = "15/26026/24882"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26026/24882.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26026 ÷ 215
    26026 ÷ 32768     		x = 0.79425048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24882 ÷ 215
    24882 ÷ 32768     		y = 0.75933837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.79425048828125 × 2 - 1) × π
    0.5885009765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.84883034
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75933837890625 × 2 - 1) × π
    -0.5186767578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.62947109188495
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.84883034} λ = 1.84883034}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62947109188495))-π/2
    2×atan(0.196033230278517)-π/2
    2×0.193578464885218-π/2
    0.387156929770437-1.57079632675     		φ = -1.18363940
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.84883034} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.930176°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18363940 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.817542°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26026 KachelY 24882 1.84883034 -1.18363940 105.930176 -67.817542
    Oben rechts KachelX + 1 26027 KachelY 24882 1.84902209 -1.18363940 105.941162 -67.817542
    Unten links KachelX 26026 KachelY + 1 24883 1.84883034 -1.18371179 105.930176 -67.821690
    Unten rechts KachelX + 1 26027 KachelY + 1 24883 1.84902209 -1.18371179 105.941162 -67.821690
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18363940--1.18371179) × R
    7.23900000001443e-05 × 6371000     		dl = 461.196690000919m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18363940--1.18371179) × R
    7.23900000001443e-05 × 6371000     		dr = 461.196690000919m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.84883034-1.84902209) × cos(-1.18363940) × R
    0.000191750000000157 × 0.377557297957591 × 6371000     		do = 461.238814309316m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.84883034-1.84902209) × cos(-1.18371179) × R
    0.000191750000000157 × 0.377490264825646 × 6371000     		du = 461.156924004281m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18363940)-sin(-1.18371179))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.377557297957591-0.377490264825646)×R²
    abs(1.84902209-1.84883034)×6.70331319451156e-05×R²
    0.000191750000000157×6.70331319451156e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.70331319451156e-05×40589641000000     		ar = 212702.930783178m²