Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26024 / 24866
↖ ↑ ↗
← S 67.751080°
E105.908203°		 ← 462.55 m → S 67.751080°
E105.919190°		 →
↑
462.47 m
↓
↑
462.47 m
↓
S 67.755239°
E105.908203°		 ← 462.47 m →
213 897 m²		 S 67.755239°
E105.919190°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26024 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24866 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.794204711914062 y=0.758865356445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.794204711914062 × 215)
    floor (0.794204711914062 × 32768)
    floor (26024.5)     		tx = 26024
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758865356445312 × 215)
    floor (0.758865356445312 × 32768)
    floor (24866.5)     		ty = 24866
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26024 / 24866 ti = "15/26024/24866"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26024/24866.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26024 ÷ 215
    26024 ÷ 32768     		x = 0.794189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24866 ÷ 215
    24866 ÷ 32768     		y = 0.75885009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.794189453125 × 2 - 1) × π
    0.58837890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.84844685
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75885009765625 × 2 - 1) × π
    -0.5177001953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.62640313030927
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.84844685} λ = 1.84844685}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62640313030927))-π/2
    2×atan(0.196635576211198)-π/2
    2×0.19415845385343-π/2
    0.388316907706861-1.57079632675     		φ = -1.18247942
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.84844685} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.908203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18247942 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.751080°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26024 KachelY 24866 1.84844685 -1.18247942 105.908203 -67.751080
    Oben rechts KachelX + 1 26025 KachelY 24866 1.84863860 -1.18247942 105.919190 -67.751080
    Unten links KachelX 26024 KachelY + 1 24867 1.84844685 -1.18255201 105.908203 -67.755239
    Unten rechts KachelX + 1 26025 KachelY + 1 24867 1.84863860 -1.18255201 105.919190 -67.755239
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18247942--1.18255201) × R
    7.2590000000039e-05 × 6371000     		dl = 462.470890000249m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18247942--1.18255201) × R
    7.2590000000039e-05 × 6371000     		dr = 462.470890000249m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.84844685-1.84863860) × cos(-1.18247942) × R
    0.000191749999999935 × 0.378631169204887 × 6371000     		do = 462.550697573925m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.84844685-1.84863860) × cos(-1.18255201) × R
    0.000191749999999935 × 0.378563982704047 × 6371000     		du = 462.468619907429m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18247942)-sin(-1.18255201))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.378631169204887-0.378563982704047)×R²
    abs(1.84863860-1.84844685)×6.71865008396999e-05×R²
    0.000191749999999935×6.71865008396999e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.71865008396999e-05×40589641000000     		ar = 213897.253605423m²