Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26018 / 24728
↖ ↑ ↗
← S 67.169955°
E105.842285°		 ← 473.99 m → S 67.169955°
E105.853271°		 →
↑
473.94 m
↓
↑
473.94 m
↓
S 67.174217°
E105.842285°		 ← 473.91 m →
224 625 m²		 S 67.174217°
E105.853271°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26018 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24728 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.794021606445312 y=0.754653930664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.794021606445312 × 215)
    floor (0.794021606445312 × 32768)
    floor (26018.5)     		tx = 26018
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754653930664062 × 215)
    floor (0.754653930664062 × 32768)
    floor (24728.5)     		ty = 24728
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26018 / 24728 ti = "15/26018/24728"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26018/24728.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26018 ÷ 215
    26018 ÷ 32768     		x = 0.79400634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24728 ÷ 215
    24728 ÷ 32768     		y = 0.754638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.79400634765625 × 2 - 1) × π
    0.5880126953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.84729636
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754638671875 × 2 - 1) × π
    -0.50927734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.59994196171899
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.84729636} λ = 1.84729636}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59994196171899))-π/2
    2×atan(0.201908236061546)-π/2
    2×0.19922972707763-π/2
    0.39845945415526-1.57079632675     		φ = -1.17233687
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.84729636} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.842285°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17233687 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.169955°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26018 KachelY 24728 1.84729636 -1.17233687 105.842285 -67.169955
    Oben rechts KachelX + 1 26019 KachelY 24728 1.84748811 -1.17233687 105.853271 -67.169955
    Unten links KachelX 26018 KachelY + 1 24729 1.84729636 -1.17241126 105.842285 -67.174217
    Unten rechts KachelX + 1 26019 KachelY + 1 24729 1.84748811 -1.17241126 105.853271 -67.174217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17233687--1.17241126) × R
    7.43899999999798e-05 × 6371000     		dl = 473.938689999871m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17233687--1.17241126) × R
    7.43899999999798e-05 × 6371000     		dr = 473.938689999871m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.84729636-1.84748811) × cos(-1.17233687) × R
    0.000191749999999935 × 0.387998946516108 × 6371000     		do = 473.994742022567m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.84729636-1.84748811) × cos(-1.17241126) × R
    0.000191749999999935 × 0.387930383168847 × 6371000     		du = 473.910982346443m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17233687)-sin(-1.17241126))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.387998946516108-0.387930383168847)×R²
    abs(1.84748811-1.84729636)×6.85633472605196e-05×R²
    0.000191749999999935×6.85633472605196e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.85633472605196e-05×40589641000000     		ar = 224624.59872899m²