Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26016 / 24811
↖ ↑ ↗
← S 67.521173°
E105.820313°		 ← 467.08 m → S 67.521173°
E105.831299°		 →
↑
467.06 m
↓
↑
467.06 m
↓
S 67.525374°
E105.820313°		 ← 467 m →
218 136 m²		 S 67.525374°
E105.831299°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24811 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.793960571289062 y=0.757186889648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.793960571289062 × 215)
    floor (0.793960571289062 × 32768)
    floor (26016.5)     		tx = 26016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757186889648438 × 215)
    floor (0.757186889648438 × 32768)
    floor (24811.5)     		ty = 24811
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26016 / 24811 ti = "15/26016/24811"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26016/24811.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26016 ÷ 215
    26016 ÷ 32768     		x = 0.7939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24811 ÷ 215
    24811 ÷ 32768     		y = 0.757171630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7939453125 × 2 - 1) × π
    0.587890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.84691287
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757171630859375 × 2 - 1) × π
    -0.51434326171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.61585701239285
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.84691287} λ = 1.84691287}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61585701239285))-π/2
    2×atan(0.198720291690208)-π/2
    2×0.196164768816893-π/2
    0.392329537633785-1.57079632675     		φ = -1.17846679
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.84691287} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.820313°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17846679 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.521173°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26016 KachelY 24811 1.84691287 -1.17846679 105.820313 -67.521173
    Oben rechts KachelX + 1 26017 KachelY 24811 1.84710462 -1.17846679 105.831299 -67.521173
    Unten links KachelX 26016 KachelY + 1 24812 1.84691287 -1.17854010 105.820313 -67.525374
    Unten rechts KachelX + 1 26017 KachelY + 1 24812 1.84710462 -1.17854010 105.831299 -67.525374
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17846679--1.17854010) × R
    7.33099999998821e-05 × 6371000     		dl = 467.058009999249m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17846679--1.17854010) × R
    7.33099999998821e-05 × 6371000     		dr = 467.058009999249m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.84691287-1.84710462) × cos(-1.17846679) × R
    0.000191750000000157 × 0.382341991269588 × 6371000     		do = 467.083983458469m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.84691287-1.84710462) × cos(-1.17854010) × R
    0.000191750000000157 × 0.382274250270919 × 6371000     		du = 467.00122839566m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17846679)-sin(-1.17854010))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.382341991269588-0.382274250270919)×R²
    abs(1.84710462-1.84691287)×6.77409986694633e-05×R²
    0.000191750000000157×6.77409986694633e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.77409986694633e-05×40589641000000     		ar = 218135.990207473m²