Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26015 / 24729
↖ ↑ ↗
← S 67.174217°
E105.809326°		 ← 473.91 m → S 67.174217°
E105.820313°		 →
↑
473.87 m
↓
↑
473.87 m
↓
S 67.178479°
E105.809326°		 ← 473.83 m →
224 555 m²		 S 67.178479°
E105.820313°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26015 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24729 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.793930053710938 y=0.754684448242188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.793930053710938 × 215)
    floor (0.793930053710938 × 32768)
    floor (26015.5)     		tx = 26015
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754684448242188 × 215)
    floor (0.754684448242188 × 32768)
    floor (24729.5)     		ty = 24729
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26015 / 24729 ti = "15/26015/24729"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26015/24729.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26015 ÷ 215
    26015 ÷ 32768     		x = 0.793914794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24729 ÷ 215
    24729 ÷ 32768     		y = 0.754669189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.793914794921875 × 2 - 1) × π
    0.58782958984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.84672112
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754669189453125 × 2 - 1) × π
    -0.50933837890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.60013370931747
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.84672112} λ = 1.84672112}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60013370931747))-π/2
    2×atan(0.201869524353725)-π/2
    2×0.199192531431611-π/2
    0.398385062863222-1.57079632675     		φ = -1.17241126
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.84672112} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.809326°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17241126 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.174217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26015 KachelY 24729 1.84672112 -1.17241126 105.809326 -67.174217
    Oben rechts KachelX + 1 26016 KachelY 24729 1.84691287 -1.17241126 105.820313 -67.174217
    Unten links KachelX 26015 KachelY + 1 24730 1.84672112 -1.17248564 105.809326 -67.178479
    Unten rechts KachelX + 1 26016 KachelY + 1 24730 1.84691287 -1.17248564 105.820313 -67.178479
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17241126--1.17248564) × R
    7.43800000000405e-05 × 6371000     		dl = 473.874980000258m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17241126--1.17248564) × R
    7.43800000000405e-05 × 6371000     		dr = 473.874980000258m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.84672112-1.84691287) × cos(-1.17241126) × R
    0.000191749999999935 × 0.387930383168847 × 6371000     		do = 473.910982346443m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.84672112-1.84691287) × cos(-1.17248564) × R
    0.000191749999999935 × 0.387861826892005 × 6371000     		du = 473.827231307818m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17241126)-sin(-1.17248564))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.387930383168847-0.387861826892005)×R²
    abs(1.84691287-1.84672112)×6.85562768424908e-05×R²
    0.000191749999999935×6.85562768424908e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.85562768424908e-05×40589641000000     		ar = 224554.713624039m²