Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26010 / 24911
↖ ↑ ↗
← S 67.937523°
E105.754394°		 ← 458.87 m → S 67.937523°
E105.765381°		 →
↑
458.84 m
↓
↑
458.84 m
↓
S 67.941650°
E105.754394°		 ← 458.79 m →
210 528 m²		 S 67.941650°
E105.765381°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26010 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24911 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.793777465820312 y=0.760238647460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.793777465820312 × 215)
    floor (0.793777465820312 × 32768)
    floor (26010.5)     		tx = 26010
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760238647460938 × 215)
    floor (0.760238647460938 × 32768)
    floor (24911.5)     		ty = 24911
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26010 / 24911 ti = "15/26010/24911"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26010/24911.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26010 ÷ 215
    26010 ÷ 32768     		x = 0.79376220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24911 ÷ 215
    24911 ÷ 32768     		y = 0.760223388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.79376220703125 × 2 - 1) × π
    0.5875244140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.84576238
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760223388671875 × 2 - 1) × π
    -0.52044677734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.63503177224088
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.84576238} λ = 1.84576238}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63503177224088))-π/2
    2×atan(0.194946177323881)-π/2
    2×0.192531425895385-π/2
    0.38506285179077-1.57079632675     		φ = -1.18573347
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.84576238} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.754394°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18573347 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.937523°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26010 KachelY 24911 1.84576238 -1.18573347 105.754394 -67.937523
    Oben rechts KachelX + 1 26011 KachelY 24911 1.84595413 -1.18573347 105.765381 -67.937523
    Unten links KachelX 26010 KachelY + 1 24912 1.84576238 -1.18580549 105.754394 -67.941650
    Unten rechts KachelX + 1 26011 KachelY + 1 24912 1.84595413 -1.18580549 105.765381 -67.941650
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18573347--1.18580549) × R
    7.20199999999505e-05 × 6371000     		dl = 458.839419999684m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18573347--1.18580549) × R
    7.20199999999505e-05 × 6371000     		dr = 458.839419999684m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.84576238-1.84595413) × cos(-1.18573347) × R
    0.000191749999999935 × 0.375617391584543 × 6371000     		do = 458.868948542142m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.84576238-1.84595413) × cos(-1.18580549) × R
    0.000191749999999935 × 0.375550644287607 × 6371000     		du = 458.787407424373m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18573347)-sin(-1.18580549))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.375617391584543-0.375550644287607)×R²
    abs(1.84595413-1.84576238)×6.67472969367311e-05×R²
    0.000191749999999935×6.67472969367311e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.67472969367311e-05×40589641000000     		ar = 210528.455156335m²