Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26006 / 24938
↖ ↑ ↗
← S 68.048677°
E105.710449°		 ← 456.67 m → S 68.048677°
E105.721436°		 →
↑
456.61 m
↓
↑
456.61 m
↓
S 68.052783°
E105.710449°		 ← 456.59 m →
208 502 m²		 S 68.052783°
E105.721436°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26006 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24938 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.793655395507812 y=0.761062622070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.793655395507812 × 215)
    floor (0.793655395507812 × 32768)
    floor (26006.5)     		tx = 26006
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761062622070312 × 215)
    floor (0.761062622070312 × 32768)
    floor (24938.5)     		ty = 24938
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26006 / 24938 ti = "15/26006/24938"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26006/24938.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26006 ÷ 215
    26006 ÷ 32768     		x = 0.79364013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24938 ÷ 215
    24938 ÷ 32768     		y = 0.76104736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.79364013671875 × 2 - 1) × π
    0.5872802734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.84499539
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76104736328125 × 2 - 1) × π
    -0.5220947265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.64020895739984
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.84499539} λ = 1.84499539}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64020895739984))-π/2
    2×atan(0.193939512960233)-π/2
    2×0.191561435035568-π/2
    0.383122870071136-1.57079632675     		φ = -1.18767346
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.84499539} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.710449°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18767346 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.048677°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26006 KachelY 24938 1.84499539 -1.18767346 105.710449 -68.048677
    Oben rechts KachelX + 1 26007 KachelY 24938 1.84518714 -1.18767346 105.721436 -68.048677
    Unten links KachelX 26006 KachelY + 1 24939 1.84499539 -1.18774513 105.710449 -68.052783
    Unten rechts KachelX + 1 26007 KachelY + 1 24939 1.84518714 -1.18774513 105.721436 -68.052783
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18767346--1.18774513) × R
    7.16699999998571e-05 × 6371000     		dl = 456.60956999909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18767346--1.18774513) × R
    7.16699999998571e-05 × 6371000     		dr = 456.60956999909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.84499539-1.84518714) × cos(-1.18767346) × R
    0.000191749999999935 × 0.373818751991431 × 6371000     		do = 456.671659818593m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.84499539-1.84518714) × cos(-1.18774513) × R
    0.000191749999999935 × 0.373752276979273 × 6371000     		du = 456.590451334597m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18767346)-sin(-1.18774513))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373818751991431-0.373752276979273)×R²
    abs(1.84518714-1.84499539)×6.64750121577296e-05×R²
    0.000191749999999935×6.64750121577296e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.64750121577296e-05×40589641000000     		ar = 208502.110023686m²