Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26005 / 24781
↖ ↑ ↗
← S 67.394822°
E105.699463°		 ← 469.57 m → S 67.394822°
E105.710449°		 →
↑
469.54 m
↓
↑
469.54 m
↓
S 67.399045°
E105.699463°		 ← 469.49 m →
220 465 m²		 S 67.399045°
E105.710449°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26005 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24781 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.793624877929688 y=0.756271362304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.793624877929688 × 215)
    floor (0.793624877929688 × 32768)
    floor (26005.5)     		tx = 26005
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756271362304688 × 215)
    floor (0.756271362304688 × 32768)
    floor (24781.5)     		ty = 24781
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26005 / 24781 ti = "15/26005/24781"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26005/24781.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26005 ÷ 215
    26005 ÷ 32768     		x = 0.793609619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24781 ÷ 215
    24781 ÷ 32768     		y = 0.756256103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.793609619140625 × 2 - 1) × π
    0.58721923828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.84480364
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756256103515625 × 2 - 1) × π
    -0.51251220703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.61010458443845
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.84480364} λ = 1.84480364}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61010458443845))-π/2
    2×atan(0.199866710034412)-π/2
    2×0.197267393136875-π/2
    0.394534786273751-1.57079632675     		φ = -1.17626154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.84480364} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.699463°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17626154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.394822°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26005 KachelY 24781 1.84480364 -1.17626154 105.699463 -67.394822
    Oben rechts KachelX + 1 26006 KachelY 24781 1.84499539 -1.17626154 105.710449 -67.394822
    Unten links KachelX 26005 KachelY + 1 24782 1.84480364 -1.17633524 105.699463 -67.399045
    Unten rechts KachelX + 1 26006 KachelY + 1 24782 1.84499539 -1.17633524 105.710449 -67.399045
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17626154--1.17633524) × R
    7.36999999999544e-05 × 6371000     		dl = 469.542699999709m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17626154--1.17633524) × R
    7.36999999999544e-05 × 6371000     		dr = 469.542699999709m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.84480364-1.84499539) × cos(-1.17626154) × R
    0.000191749999999935 × 0.384378756992993 × 6371000     		do = 469.572176408693m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.84480364-1.84499539) × cos(-1.17633524) × R
    0.000191749999999935 × 0.384310717916094 × 6371000     		du = 469.48905720182m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17626154)-sin(-1.17633524))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.384378756992993-0.384310717916094)×R²
    abs(1.84499539-1.84480364)×6.80390768991179e-05×R²
    0.000191749999999935×6.80390768991179e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.80390768991179e-05×40589641000000     		ar = 220464.673647018m²