Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 26003 / 24777
↖ ↑ ↗
← S 67.377924°
E105.677490°		 ← 469.90 m → S 67.377924°
E105.688477°		 →
↑
469.86 m
↓
↑
469.86 m
↓
S 67.382150°
E105.677490°		 ← 469.82 m →
220 771 m²		 S 67.382150°
E105.688477°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 26003 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24777 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.793563842773438 y=0.756149291992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.793563842773438 × 215)
    floor (0.793563842773438 × 32768)
    floor (26003.5)     		tx = 26003
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756149291992188 × 215)
    floor (0.756149291992188 × 32768)
    floor (24777.5)     		ty = 24777
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 26003 / 24777 ti = "15/26003/24777"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/26003/24777.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 26003 ÷ 215
    26003 ÷ 32768     		x = 0.793548583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24777 ÷ 215
    24777 ÷ 32768     		y = 0.756134033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.793548583984375 × 2 - 1) × π
    0.58709716796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.84442015
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756134033203125 × 2 - 1) × π
    -0.51226806640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.60933759404453
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.84442015} λ = 1.84442015}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60933759404453))-π/2
    2×atan(0.200020064684327)-π/2
    2×0.197414852741134-π/2
    0.394829705482267-1.57079632675     		φ = -1.17596662
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.84442015} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.677490°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17596662 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.377924°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 26003 KachelY 24777 1.84442015 -1.17596662 105.677490 -67.377924
    Oben rechts KachelX + 1 26004 KachelY 24777 1.84461190 -1.17596662 105.688477 -67.377924
    Unten links KachelX 26003 KachelY + 1 24778 1.84442015 -1.17604037 105.677490 -67.382150
    Unten rechts KachelX + 1 26004 KachelY + 1 24778 1.84461190 -1.17604037 105.688477 -67.382150
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17596662--1.17604037) × R
    7.37499999998725e-05 × 6371000     		dl = 469.861249999188m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17596662--1.17604037) × R
    7.37499999998725e-05 × 6371000     		dr = 469.861249999188m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.84442015-1.84461190) × cos(-1.17596662) × R
    0.000191750000000157 × 0.384651003186084 × 6371000     		do = 469.904763044381m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.84442015-1.84461190) × cos(-1.17604037) × R
    0.000191750000000157 × 0.384582926311587 × 6371000     		du = 469.821597662478m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17596662)-sin(-1.17604037))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.384651003186084-0.384582926311587)×R²
    abs(1.84461190-1.84442015)×6.80768744970583e-05×R²
    0.000191750000000157×6.80768744970583e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.80768744970583e-05×40589641000000     		ar = 220770.501349488m²